Номер 37.13, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.13, страница 299.

Условие.

37.13. У одного мальчика есть 11 марок, а у другого — 20 марок (все марки разные). Сколькими способами можно обменять три марки одного мальчика на три марки другого?

Решение.

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов, которыми каждый мальчик может выбрать по три марки для обмена, а затем перемножить эти количества, так как выборы мальчиков независимы друг от друга.

1. Выбор марок первым мальчиком.
У первого мальчика есть 11 различных марок, и ему нужно выбрать 3 из них. Поскольку порядок выбора марок не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае $n=11$ и $k=3$.
Количество способов для первого мальчика выбрать 3 марки: $C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$.

2. Выбор марок вторым мальчиком.
У второго мальчика есть 20 различных марок, и ему также нужно выбрать 3 из них.
В данном случае $n=20$ и $k=3$.
Количество способов для второго мальчика выбрать 3 марки: $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140$.

3. Общее количество способов обмена.
Чтобы найти общее количество способов совершить обмен, нужно умножить число способов выбора для первого мальчика на число способов выбора для второго (по правилу произведения в комбинаторике).
Общее число способов = $C_{11}^3 \times C_{20}^3 = 165 \times 1140 = 188100$.

Ответ: 188100