Номер 37.14, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.14, страница 299.

Условие.

37.14. На плоскости задано $n$ параллельных прямых. Их пересекают $m$ параллельных прямых. Сколько параллелограммов при этом образовалось?

Решение.

Чтобы образовался параллелограмм, необходимо выбрать две параллельные прямые из первого множества (состоящего из $n$ прямых) и две параллельные прямые из второго множества (состоящего из $m$ прямых). Каждая такая пара пар прямых однозначно определяет один параллелограмм.

Количество способов выбрать две прямые из $n$ данных параллельных прямых равно числу сочетаний из $n$ по 2. Оно вычисляется по формуле:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Аналогично, количество способов выбрать две прямые из $m$ других параллельных прямых равно числу сочетаний из $m$ по 2:

$C_m^2 = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$

Поскольку выбор пары прямых из первого множества и выбор пары прямых из второго множества — независимые события, общее количество образовавшихся параллелограммов равно произведению числа способов для каждого выбора (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Таким образом, общее число параллелограммов $N$ равно:

$N = C_n^2 \cdot C_m^2 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{m(m-1)}{2} = \frac{nm(n-1)(m-1)}{4}$

Ответ: $\frac{nm(n-1)(m-1)}{4}$