Номер 37.18, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.18, страница 299.

Условие.

37.18. В классе 35 учащихся. Для участия в турнире «математический бой» формируется команда, состоящая из капитана, его заместителя и четырёх членов команды. Сколькими способами можно сформировать такую команду?

Решение.

37.18. Для формирования команды необходимо выбрать 6 человек из 35 учащихся и распределить между ними роли: 1 капитан, 1 заместитель и 4 рядовых члена команды. Решим задачу пошагово.

1. Выбор капитана. На роль капитана можно выбрать любого из 35 учащихся. Следовательно, есть 35 способов.

2. Выбор заместителя. После того, как капитан выбран, на роль заместителя остаются 34 кандидата. Значит, есть 34 способа выбрать заместителя.

Так как роли капитана и заместителя различны, то выбор пары "Иванов - капитан, Петров - заместитель" отличается от пары "Петров - капитан, Иванов - заместитель". Поэтому количество способов выбрать капитана и его заместителя — это число размещений из 35 элементов по 2:
$A_{35}^2 = \frac{35!}{(35-2)!} = 35 \times 34 = 1190$ способов.

3. Выбор четырех членов команды. После выбора капитана и заместителя в классе остаются $35 - 2 = 33$ учащихся. Из них необходимо выбрать 4 человека на роли рядовых членов команды. Поскольку эти роли равнозначны, порядок выбора не имеет значения. Следовательно, мы используем формулу для числа сочетаний из 33 по 4:
$C_{33}^4 = \frac{33!}{4!(33-4)!} = \frac{33!}{4!29!} = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Вычислим значение:
$C_{33}^4 = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{24} = 33 \times 4 \times 31 \times 10 = 40920$ способов.

4. Общее количество способов. Чтобы найти общее число способов сформировать команду, необходимо перемножить число способов для каждого шага (согласно комбинаторному правилу произведения):
$N = A_{35}^2 \times C_{33}^4 = 1190 \times 40920 = 48694800$.

Ответ: 48 694 800.