Номер 37.24, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.24, страница 299.

Условие.

37.24. Из 20 человек надо сформировать комиссию из 7 членов, причём Пётр Иванович и Иван Петрович не должны входить в комиссию одновременно. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся методом исключения. Сначала мы определим общее количество способов сформировать комиссию из 7 человек из 20 без каких-либо ограничений. Затем мы вычислим количество способов, при которых Пётр Иванович и Иван Петрович входят в комиссию одновременно (что является нарушением условия), и вычтем это число из общего количества способов.

1. Общее количество способов сформировать комиссию из 7 человек из 20. Поскольку порядок выбора членов комиссии не важен, используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

При $n=20$ и $k=7$ общее число способов $N_{общ}$ равно:

$N_{общ} = C_{20}^7 = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 77520$ способов.

2. Количество "недопустимых" способов, когда Пётр Иванович и Иван Петрович оба входят в комиссию. Если два места в комиссии уже заняты ими, то нам необходимо выбрать еще $7 - 2 = 5$ членов из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

Число таких способов $N_{вместе}$ равно:

$N_{вместе} = C_{18}^5 = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18!}{5!13!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8568$ способов.

3. Искомое количество способов. Чтобы найти количество способов, удовлетворяющих условию, вычтем из общего числа способов число "недопустимых" способов:

$N = N_{общ} - N_{вместе} = 77520 - 8568 = 68952$.

Таким образом, существует 68952 способа сформировать комиссию так, чтобы Пётр Иванович и Иван Петрович не входили в неё одновременно.

Задачу можно решить и другим способом, рассмотрев три взаимоисключающих случая:

• Пётр Иванович в комиссии, а Иван Петрович нет: $C_{18}^6 = 18564$ способа.
• Иван Петрович в комиссии, а Пётр Иванович нет: $C_{18}^6 = 18564$ способа.
• Оба не в комиссии: $C_{18}^7 = 31824$ способа.

Сумма этих способов: $18564 + 18564 + 31824 = 68952$, что подтверждает наш результат.

Ответ: 68952