Номер 37.20, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.20, страница 299.

Условие.

37.20. Сколько существует способов составления букета из 8 разных цветов? В букете должно быть нечётное количество цветов.

Решение.

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов составить букет с нечётным числом цветов из 8 различных цветов. Поскольку порядок цветов в букете не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний.

У нас есть $n=8$ различных цветов. Букет должен содержать нечётное количество цветов, то есть 1, 3, 5 или 7 цветов.

Общее количество способов $N$ равно сумме числа способов составить букет из 1 цветка, 3 цветков, 5 цветков и 7 цветков.

Число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учёта порядка определяется формулой сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Таким образом, нам нужно вычислить сумму:$N = C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$

Рассчитаем каждое слагаемое:
1. Число способов выбрать 1 цветок из 8:$C_8^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = 8$
2. Число способов выбрать 3 цветка из 8:$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
3. Число способов выбрать 5 цветков из 8:Используя свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем:$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3 = 56$
4. Число способов выбрать 7 цветков из 8:$C_8^7 = C_8^{8-7} = C_8^1 = 8$

Теперь просуммируем полученные значения, чтобы найти общее количество способов:$N = 8 + 56 + 56 + 8 = 128$

Альтернативный способ решения:
Можно использовать свойство биномиальных коэффициентов. Общее число всех возможных подмножеств (букетов) множества из $n$ элементов равно $2^n$. Для любого непустого множества (при $n \ge 1$) количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов. Каждая из этих сумм равна половине от общего числа всех подмножеств.

Сумма сочетаний с нечётным числом элементов равна:$S_{нечёт} = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = 2^{n-1}$

В нашем случае $n=8$, поэтому искомое количество способов равно:$2^{8-1} = 2^7 = 128$

Ответ: 128