Номер 37.22, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.22, страница 299.

Условие.

37.22. Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 5 человек так, чтобы в ней было не менее 2 штукатуров?

Решение.

По условию, всего имеется 20 рабочих, из которых 7 — штукатуры. Следовательно, рабочих других специальностей $20 - 7 = 13$. Необходимо сформировать бригаду из 5 человек, в которой будет не менее 2 штукатуров.

Условие «не менее 2 штукатуров» означает, что в бригаде может быть 2, 3, 4 или 5 штукатуров. Так как порядок выбора людей в бригаду не имеет значения, мы будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: В бригаде ровно 2 штукатура и 3 других рабочих.
Число способов выбрать 2 штукатуров из 7 равно $C_7^2$. Число способов выбрать 3 других рабочих из 13 равно $C_{13}^3$. Общее число способов для этого случая находим по правилу произведения:
$N_1 = C_7^2 \times C_{13}^3 = \frac{7!}{2!(7-2)!} \times \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 21 \times 286 = 6006$ способов.

Случай 2: В бригаде ровно 3 штукатура и 2 других рабочих.
Выбираем 3 штукатуров из 7 ($C_7^3$) и 2 других рабочих из 13 ($C_{13}^2$):
$N_2 = C_7^3 \times C_{13}^2 = \frac{7!}{3!(7-3)!} \times \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 35 \times 78 = 2730$ способов.

Случай 3: В бригаде ровно 4 штукатура и 1 другой рабочий.
Выбираем 4 штукатуров из 7 ($C_7^4$) и 1 другого рабочего из 13 ($C_{13}^1$):
$N_3 = C_7^4 \times C_{13}^1 = \frac{7!}{4!(7-4)!} \times 13 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 13 = 35 \times 13 = 455$ способов.

Случай 4: В бригаде все 5 человек — штукатуры.
Выбираем 5 штукатуров из 7 ($C_7^5$) и 0 других рабочих из 13 ($C_{13}^0$):
$N_4 = C_7^5 \times C_{13}^0 = \frac{7!}{5!(7-5)!} \times 1 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 1 = 21$ способ.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо сложить количество способов для всех рассмотренных случаев:
$N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 6006 + 2730 + 455 + 21 = 9212$.
Ответ: 9212.