Номер 37.12, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.12, страница 298.

Условие.

37.12. В шахматной секции занимаются 5 девочек и 12 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 2 девочек и 5 мальчиков для участия в соревнованиях?

Решение.

Для решения задачи необходимо найти количество способов выбрать 2 девочек из 5 и количество способов выбрать 5 мальчиков из 12. Поскольку порядок выбора участников в команду не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Итоговое количество способов формирования команды будет равно произведению этих двух результатов.

1. Найдём количество способов выбрать 2 девочек из 5.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, $n=5$ (общее число девочек) и $k=2$ (количество девочек, которых нужно выбрать).

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Таким образом, существует 10 способов выбрать 2 девочек.

2. Найдём количество способов выбрать 5 мальчиков из 12.

Используем ту же формулу, где $n=12$ (общее число мальчиков) и $k=5$ (количество мальчиков, которых нужно выбрать).

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Выполним вычисления: $C_{12}^5 = \frac{95040}{120} = 792$.

Следовательно, существует 792 способа выбрать 5 мальчиков.

3. Найдём общее количество способов сформировать команду.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков.

Общее число способов = (способы выбора девочек) × (способы выбора мальчиков).

$N = C_5^2 \cdot C_{12}^5 = 10 \cdot 792 = 7920$.

Ответ: 7920