Номер 37.7, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.7, страница 298.

Условие.

37.7. В классе 29 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек для участия в математической олимпиаде?

Решение.

37.7. Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 5 человек из 29. Поскольку порядок выбора учащихся для команды не имеет значения, мы имеем дело с сочетаниями без повторений.
Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае, общее количество учащихся $n = 29$, а количество человек в команде $k = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$C_{29}^5 = \frac{29!}{5!(29-5)!} = \frac{29!}{5! \cdot 24!}$
Расшифруем факториалы и сократим дробь:
$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 24!} = \frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Теперь выполним вычисления, сокращая множители в числителе и знаменателе:
$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot (4 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 13) \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 = 118755$
Таким образом, существует 118 755 способов сформировать команду.
Ответ: 118755.