Номер 37.1, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.1, страница 298.

Условие.

37.1. Вычислите:

1) $C_7^2;$

2) $C_4^3;$

3) $C_{100}^{99};$

4) $C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1.$

Решение.

1) Для вычисления $C_7^2$ (числа сочетаний из 7 по 2) используется формула числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставляем в формулу значения $n=7$ и $k=2$:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21.

2) Для вычисления $C_4^3$ (числа сочетаний из 4 по 3) можно использовать ту же формулу или свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим свойство, это упростит вычисления:

$C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1$.

По определению, число сочетаний из $n$ по 1 всегда равно $n$. Следовательно, $C_4^1 = 4$.

Проверка по основной формуле:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4$.

Ответ: 4.

3) Для вычисления $C_{100}^{99}$ (числа сочетаний из 100 по 99) также удобно применить свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$.

$C_{100}^{99} = C_{100}^{100-99} = C_{100}^1$.

Так как $C_n^1 = n$, то $C_{100}^1 = 100$.

Проверка по основной формуле:

$C_{100}^{99} = \frac{100!}{99!(100-99)!} = \frac{100!}{99! \cdot 1!} = \frac{100 \cdot 99!}{99! \cdot 1} = 100$.

Ответ: 100.

4) Необходимо вычислить сумму $C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1$. Для этого вычислим значение каждого слагаемого, используя основные свойства сочетаний.

Первое слагаемое: $C_5^0$. Согласно свойству $C_n^0 = 1$, имеем $C_5^0 = 1$.

Второе слагаемое: $C_7^7$. Согласно свойству $C_n^n = 1$, имеем $C_7^7 = 1$.

Третье слагаемое: $C_{11}^1$. Согласно свойству $C_n^1 = n$, имеем $C_{11}^1 = 11$.

Теперь сложим полученные значения:

$C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1 = 1 + 1 + 11 = 13$.

Ответ: 13.