Номер 36.11, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.11, страница 293.

Условие.

36.11. В 9 классе 32 учащихся. Каждые два учащихся обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего было подарено фотографий?

Решение.

36.11.

В классе 32 учащихся. По условию, каждые двое учащихся обменялись фотографиями. Это означает, что если есть два ученика, А и Б, то ученик А дарит фотографию ученику Б, и ученик Б дарит фотографию ученику А. Таким образом, в каждой паре учеников происходит два акта дарения.

Способ 1: Логические рассуждения

Рассмотрим одного любого учащегося. Ему нужно подарить по одной фотографии каждому из остальных учеников класса. Поскольку всего в классе 32 человека, то других учеников, кроме него самого, будет $32 - 1 = 31$. Значит, один учащийся подарит 31 фотографию.

Так как в классе 32 учащихся, и каждый из них дарит по 31 фотографии, то общее количество подаренных фотографий равно произведению числа учащихся на количество фотографий, которые дарит каждый.

Общее количество фотографий = (Число учащихся) $\times$ (Фотографий от одного учащегося) = $32 \times 31 = 992$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Данную задачу можно рассматривать как задачу нахождения числа упорядоченных пар учеников. Каждая подаренная фотография соответствует одной упорядоченной паре (дарящий, получающий). Нам нужно найти, сколько таких пар можно составить из 32 учеников.

Это задача на нахождение числа размещений из 32 элементов по 2. Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее число элементов (учащихся), а $k$ — число элементов в каждой группе (в паре двое).

Подставляем наши значения: $n = 32$, $k = 2$.

$A_{32}^2 = \frac{32!}{(32-2)!} = \frac{32!}{30!} = 32 \times 31 = 992$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 992