Номер 36.5, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.5, страница 293.

Условие.

36.5. Научная группа, состоящая из девяти человек, должна делегировать на конференцию трёх представителей: одного — в Великобританию, другого — во Францию, третьего — в Германию. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

В данной задаче нам нужно выбрать трёх человек из девяти и назначить каждого на определённую, уникальную позицию (представитель в Великобритании, во Франции или в Германии). Поскольку позиции различны, порядок выбора имеет значение. Это классическая задача на размещения без повторений.

Для решения можно воспользоваться правилом произведения в комбинаторике.

1. На позицию представителя в Великобританию можно выбрать любого из 9 человек. Таким образом, есть 9 вариантов.

2. После того как один человек выбран, на позицию представителя во Францию остаётся 8 кандидатов. Таким образом, есть 8 вариантов.

3. Наконец, на позицию представителя в Германию остаётся 7 человек. Таким образом, есть 7 вариантов.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге:
$N = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

Другой способ — использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае общее число людей $n=9$, а число выбираемых представителей $k=3$.
$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.
Таким образом, существует 504 способа делегировать трёх представителей.

Ответ: 504