Номер 36.9, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.9, страница 293.

Условие.

36.9. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+1}^2 = 156$;

2) $A_x^{x-3} = xP_{x-2}$;

3) $\frac{P_{x+3}}{A_x^5 \cdot P_{x-5}} = 720$;

4) $\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4} \cdot P_3} = 210$.

Решение.

1) $A_{x+1}^2 = 156$

По определению числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.

В данном случае $n = x+1$ и $k = 2$. Уравнение принимает вид:

$(x+1)((x+1)-1) = 156$

$(x+1)x = 156$

$x^2 + x - 156 = 0$

Область допустимых значений для $A_{x+1}^2$ требует, чтобы $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$, и $x$ - натуральное число.

Решим квадратное уравнение. Требуется найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 156. Методом подбора находим: $12 \cdot 13 = 156$.

Следовательно, $x=12$.

Второй корень уравнения $x^2 + x - 156 = 0$ можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -156$. Если $x_1 = 12$, то $x_2 = -156/12 = -13$. Этот корень не является натуральным числом, поэтому он не подходит по условию задачи.

Значение $x=12$ удовлетворяет области допустимых значений ($x \ge 1$).

Ответ: $x=12$.

2) $A_x^{x-3} = xP_{x-2}$

Используем формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и перестановок $P_n = n!$.

Левая часть уравнения: $A_x^{x-3} = \frac{x!}{(x - (x-3))!} = \frac{x!}{3!}$.

Правая часть уравнения: $xP_{x-2} = x(x-2)!$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{x!}{3!} = x(x-2)!$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Для $A_x^{x-3}$ должно выполняться $x \ge x-3$ (что верно для любого $x$) и $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Для $P_{x-2}$ должно выполняться $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Учитывая, что $x$ - натуральное число, общая ОДЗ: $x \ge 3$.

Преобразуем левую часть, используя свойство факториала $x! = x(x-1)(x-2)!$:

$\frac{x(x-1)(x-2)!}{6} = x(x-2)!$

Поскольку в ОДЗ ($x \ge 3$) $x \ne 0$ и $(x-2)! \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-2)!$:

$\frac{x-1}{6} = 1$

$x-1 = 6$

$x=7$

Полученное значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).

Ответ: $x=7$.

3) $\frac{P_{x+3}}{A_x^5 \cdot P_{x-5}} = 720$

Запишем уравнение, используя определения перестановки ($P_n=n!$) и размещения ($A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$):

$P_{x+3} = (x+3)!$

$A_x^5 = \frac{x!}{(x-5)!}$

$P_{x-5} = (x-5)!$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{(x+3)!}{\frac{x!}{(x-5)!} \cdot (x-5)!} = 720$

Упростим знаменатель: $\frac{x!}{(x-5)!} \cdot (x-5)! = x!$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{(x+3)!}{x!} = 720$

ОДЗ: для $A_x^5$ требуется $x \ge 5$, для $P_{x-5}$ требуется $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Общая ОДЗ для натурального $x$: $x \ge 5$.

Распишем факториал в числителе: $(x+3)! = (x+3)(x+2)(x+1)x!$.

$\frac{(x+3)(x+2)(x+1)x!}{x!} = 720$

$(x+3)(x+2)(x+1) = 720$

Мы ищем три последовательных натуральных числа, произведение которых равно 720. Разложим 720 на множители: $720 = 72 \cdot 10 = 8 \cdot 9 \cdot 10$.

Таким образом, $(x+3)(x+2)(x+1) = 10 \cdot 9 \cdot 8$.

Приравнивая соответствующие множители (наибольший с наибольшим и т.д.), получаем: $x+3 = 10$, откуда $x=7$.

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 5$).

Ответ: $x=7$.

4) $\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4} \cdot P_3} = 210$

Используем определения перестановки и размещения:

$P_{x+1} = (x+1)!$

$A_{x-1}^{x-4} = \frac{(x-1)!}{((x-1)-(x-4))!} = \frac{(x-1)!}{(x-1-x+4)!} = \frac{(x-1)!}{3!}$

$P_3 = 3!$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{(x+1)!}{\frac{(x-1)!}{3!} \cdot 3!} = 210$

Упростим знаменатель: $\frac{(x-1)!}{3!} \cdot 3! = (x-1)!$.

Уравнение примет вид:

$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 210$

ОДЗ: для $A_{x-1}^{x-4}$ необходимо, чтобы $x-1 \ge x-4$ (верно всегда) и $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Так как $x$ - натуральное число, ОДЗ: $x \ge 4$.

Распишем $(x+1)!$ как $(x+1)x(x-1)!$:

$\frac{(x+1)x(x-1)!}{(x-1)!} = 210$

$(x+1)x = 210$

$x^2 + x - 210 = 0$

Ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210. Методом подбора находим: $14 \cdot 15 = 210$.

Следовательно, $x=14$.

Второй корень уравнения по теореме Виета равен $-15$, что не является натуральным числом.

Полученное значение $x=14$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 4$).

Ответ: $x=14$.