Номер 36.2, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.2, страница 293.

Условие.

36.2. Комиссия, состоящая из 15 человек, должна выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

В данной задаче нам необходимо из 15 человек выбрать троих на три различные должности: председателя, его заместителя и секретаря. Поскольку должности являются различными, порядок, в котором мы выбираем людей, имеет значение. Это означает, что мы имеем дело с размещениями.

Для решения задачи можно использовать правило умножения в комбинаторике.

1. Выбор председателя: на эту должность может быть выбран любой из 15 человек. Следовательно, существует 15 способов.

2. Выбор заместителя: после того как председатель выбран, остается 14 человек. Значит, на должность заместителя есть 14 кандидатов.

3. Выбор секретаря: после выбора председателя и заместителя остается 13 человек. Таким образом, на должность секретаря есть 13 кандидатов.

Общее количество способов выбора равно произведению числа способов для каждой должности:
$N = 15 \times 14 \times 13$

Выполним вычисления:
$15 \times 14 = 210$
$210 \times 13 = 2730$

Этот же результат можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае $n=15$ и $k=3$.
$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Ответ: 2730