Номер 35.30, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.30, страница 290.

Условие.

35.30. Сколько пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись и чётные цифры не стояли рядом?

Решение.

Для решения данной задачи мы должны найти количество пятизначных чисел, составленных из цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторений, при условии, что чётные цифры не стоят рядом. В наборе присутствуют три нечётные цифры {1, 3, 5} и две чётные {2, 4}.

Воспользуемся конструктивным методом. Сначала расставим нечётные цифры, а затем разместим чётные в промежутках между ними.

1. Расставим сначала 3 нечётные цифры. Количество способов их взаимного расположения равно числу перестановок из 3 элементов ($P_3$):$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

2. После расстановки трёх нечётных цифр (обозначим их буквой Н) образуется 4 возможных места (слота, обозначены "_"), куда можно поместить чётные цифры так, чтобы они не были рядом:_ Н _ Н _ Н _Нам нужно разместить 2 чётные цифры ({2, 4}) в эти 4 слота.

3. Для первой чётной цифры есть 4 свободных места. После того как она займёт одно из них, для второй чётной цифры останется 3 свободных места. Поскольку чётные цифры различны (2 и 4), порядок их размещения имеет значение. Количество способов выбрать 2 места из 4 и расставить в них 2 различные цифры — это число размещений из 4 по 2 ($A_4^2$):$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$ способов.

4. Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество искомых чисел равно произведению числа способов расстановки нечётных цифр на число способов размещения чётных цифр:$N = P_3 \times A_4^2 = 6 \times 12 = 72$.

Таким образом, существует 72 таких числа.

Ответ: 72