Вопросы?, страница 292 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - страница 292.

Условие.

1. Что называют размещением из $n$ элементов по $k$ элементов?

2. С помощью какой формулы можно найти количество всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$?

Решение.

1. Что называют размещением из n элементов по k элементов?

Размещением из $n$ элементов по $k$ элементов (где $k \le n$) называют любой упорядоченный набор (или кортеж) из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, которое содержит $n$ различных элементов. Главное отличие размещения от других комбинаторных объектов (например, сочетаний) заключается в том, что порядок элементов в наборе имеет значение. Таким образом, два набора, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, считаются разными размещениями. Например, для множества $\{1, 2, 3\}$ наборы $(1, 2)$ и $(2, 1)$ являются двумя различными размещениями из 3 элементов по 2.

Ответ: Размещением из $n$ элементов по $k$ называют любое упорядоченное подмножество, состоящее из $k$ элементов, которые выбраны из данного множества, содержащего $n$ различных элементов.

2. С помощью какой формулы можно найти количество всех возможных размещений из n элементов по k?

Количество всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по следующей формуле, использующей факториалы:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех целых положительных чисел от 1 до $n$. По определению, $0! = 1$. Эта формула является основной для нахождения числа размещений.

Для практических расчетов часто удобнее использовать другую форму записи той же формулы, представляющую собой произведение $k$ множителей:

$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Эта запись напрямую следует из правила умножения в комбинаторике: первый элемент можно выбрать $n$ способами, второй — $(n-1)$ способами, и так до $k$-го элемента, который можно выбрать $(n-k+1)$ способами.

Ответ: Количество всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$ можно найти с помощью формулы $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.