Номер 35.29, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.29, страница 290.

Условие.

35.29. Среди 10 человек двое знакомы. Сколькими способами можно посадить этих людей на 10 стульев так, чтобы знакомые сидели рядом?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся методом группировки. Поскольку двое знакомых должны сидеть рядом, мы можем рассматривать их как один единый объект.

1. Сначала будем считать эту пару знакомых (блок) одним целым. Тогда нам нужно рассадить не 10 человек, а 9 «объектов»: 8 отдельных человек и 1 блок из двух знакомых. Количество способов рассадить 9 различных объектов на 9 стульях равно числу перестановок из 9 элементов, то есть $P_9 = 9!$.

Вычислим значение факториала:

$9! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 = 362,880$

Таким образом, существует 362,880 способов рассадить 8 человек и одну пару.

2. Теперь рассмотрим саму пару знакомых. Внутри этого блока два человека могут поменяться местами. Например, если знакомые — это А и Б, они могут сидеть как (А, Б) или как (Б, А). Количество способов их расположения внутри блока равно числу перестановок из 2 элементов, то есть $P_2 = 2!$.

Вычислим значение:

$2! = 1 \times 2 = 2$

3. Чтобы найти общее количество способов рассадки, по правилу произведения в комбинаторике, нужно умножить количество способов рассадки «объектов» на количество способов расположения людей внутри блока.

Общее число способов $N = 9! \times 2! = 362,880 \times 2 = 725,760$.

Ответ: 725,760