Номер 36.1, страница 292 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.1, страница 292.

Условие.

36.1. В футбольной команде из 11 человек надо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

36.1.

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать двух человек на две различные должности (капитан и заместитель) из 11 человек. Поскольку должности разные, порядок выбора имеет значение (если игрока A выбрать капитаном, а игрока B — заместителем, это не то же самое, что наоборот).

Выбор можно разбить на два последовательных шага:

1. Выбор капитана. Капитаном может стать любой из 11 игроков команды. Таким образом, существует 11 способов выбрать капитана.

2. Выбор заместителя. После того как капитан выбран, в команде остается 10 человек, любой из которых может стать заместителем. Следовательно, для каждого выбранного капитана существует 10 способов выбрать заместителя.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов равно произведению количества способов на каждом шаге.

$11 \times 10 = 110$

Эта задача также является примером нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В данном случае $n = 11$ (общее число игроков), а $k = 2$ (число должностей).

$A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = \frac{11 \times 10 \times 9!}{9!} = 11 \times 10 = 110$

Таким образом, существует 110 способов выбрать капитана и его заместителя.

Ответ: 110