Номер 35.33, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.33, страница 290.
№35.33 (с. 290)
Условие. №35.33 (с. 290)
скриншот условия
 
                                35.33. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^2 - (4 + 3a)x + 12a}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0$ имеет единственное решение?
Решение. №35.33 (с. 290)
Исходное уравнение $\frac{x^2 - (4 + 3a)x + 12a}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - (4 + 3a)x + 12a = 0, \\ \sqrt{x^2 - 1} \neq 0. \end{cases}$
Второе условие системы определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть строго положительным:
$x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies |x| > 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Теперь решим первое уравнение системы: $x^2 - (4 + 3a)x + 12a = 0$.
Разложим левую часть уравнения на множители:
$x^2 - 4x - 3ax + 12a = 0$
$x(x - 4) - 3a(x - 4) = 0$
$(x - 4)(x - 3a) = 0$
Корнями этого уравнения являются $x_1 = 4$ и $x_2 = 3a$.
Исходное уравнение будет иметь единственное решение, если ровно один из этих двух корней принадлежит ОДЗ.
Проверим корень $x_1 = 4$. Так как $4 > 1$, этот корень всегда принадлежит ОДЗ.
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение (а именно, $x=4$), второй корень $x_2 = 3a$ должен либо совпадать с первым, либо не принадлежать ОДЗ.
Случай 1: Корни совпадают
$x_1 = x_2 \implies 4 = 3a \implies a = \frac{4}{3}$.
При этом значении $a$ уравнение числителя имеет единственный корень $x=4$, который принадлежит ОДЗ. Следовательно, $a = \frac{4}{3}$ является решением.
Случай 2: Корни различны, и корень $x_2 = 3a$ не принадлежит ОДЗ
Корни различны, если $a \neq \frac{4}{3}$. Корень $x_2 = 3a$ не принадлежит ОДЗ, если выполняется условие $-1 \le x_2 \le 1$.
$-1 \le 3a \le 1$
$-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$
При $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ корень $x_2 = 3a$ не входит в ОДЗ, в то время как корень $x_1 = 4$ входит. Заметим, что данный отрезок не содержит значение $a = \frac{4}{3}$, поэтому корни в этом случае действительно различны. Таким образом, все значения $a$ из отрезка $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ являются решениями.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cup \{\frac{4}{3}\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 35.33 расположенного на странице 290 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №35.33 (с. 290), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    