Номер 35.33, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.33, страница 290.

Условие.

35.33. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^2 - (4 + 3a)x + 12a}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0$ имеет единственное решение?

Решение.

Исходное уравнение $\frac{x^2 - (4 + 3a)x + 12a}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (4 + 3a)x + 12a = 0, \\ \sqrt{x^2 - 1} \neq 0. \end{cases}$

Второе условие системы определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies |x| > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь решим первое уравнение системы: $x^2 - (4 + 3a)x + 12a = 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители:

$x^2 - 4x - 3ax + 12a = 0$

$x(x - 4) - 3a(x - 4) = 0$

$(x - 4)(x - 3a) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 4$ и $x_2 = 3a$.

Исходное уравнение будет иметь единственное решение, если ровно один из этих двух корней принадлежит ОДЗ.

Проверим корень $x_1 = 4$. Так как $4 > 1$, этот корень всегда принадлежит ОДЗ.

Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение (а именно, $x=4$), второй корень $x_2 = 3a$ должен либо совпадать с первым, либо не принадлежать ОДЗ.

Случай 1: Корни совпадают

$x_1 = x_2 \implies 4 = 3a \implies a = \frac{4}{3}$.

При этом значении $a$ уравнение числителя имеет единственный корень $x=4$, который принадлежит ОДЗ. Следовательно, $a = \frac{4}{3}$ является решением.

Случай 2: Корни различны, и корень $x_2 = 3a$ не принадлежит ОДЗ

Корни различны, если $a \neq \frac{4}{3}$. Корень $x_2 = 3a$ не принадлежит ОДЗ, если выполняется условие $-1 \le x_2 \le 1$.

$-1 \le 3a \le 1$

$-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$

При $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ корень $x_2 = 3a$ не входит в ОДЗ, в то время как корень $x_1 = 4$ входит. Заметим, что данный отрезок не содержит значение $a = \frac{4}{3}$, поэтому корни в этом случае действительно различны. Таким образом, все значения $a$ из отрезка $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ являются решениями.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cup \{\frac{4}{3}\}$.