Номер 35.31, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.31, страница 290.

Условие.

35.31. Будем называть «буквенным набором» любую конечную последовательность букв русского алфавита. Сколько различных «буквенных наборов» можно образовать, переставляя буквы в слове:

1) молоко;

2) математика;

3) комбинаторика?

Решение.

Для решения этой задачи используется формула перестановок с повторениями. Если имеется $n$ элементов, среди которых есть $k$ различных типов, причем $n_1$ элементов первого типа, $n_2$ элементов второго типа, ..., $n_k$ элементов $k$-го типа ($n_1 + n_2 + ... + n_k = n$), то число различных перестановок равно:

$$P_n(n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$$

1) молоко

В слове «молоко» 6 букв ($n=6$).
Подсчитаем количество каждой буквы: 'м' - 1, 'о' - 3, 'л' - 1, 'к' - 1.
Повторяется только буква 'о' 3 раза ($n_1 = 3$).

Число различных «буквенных наборов», которые можно образовать, равно:

$$P_6(3) = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$$

Ответ: 120.

2) математика

В слове «математика» 10 букв ($n=10$).
Подсчитаем количество каждой буквы: 'м' - 2, 'а' - 3, 'т' - 2, 'е' - 1, 'и' - 1, 'к' - 1.
Повторяющиеся буквы: 'м' - 2 раза ($n_1 = 2$), 'а' - 3 раза ($n_2 = 3$), 'т' - 2 раза ($n_3 = 2$).

Число различных перестановок равно:

$$P_{10}(2, 3, 2) = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3628800}{24} = 151200$$

Ответ: 151 200.

3) комбинаторика

В слове «комбинаторика» 13 букв ($n=13$).
Подсчитаем количество каждой буквы: 'к' - 2, 'о' - 2, 'м' - 1, 'б' - 1, 'и' - 2, 'н' - 1, 'а' - 2, 'т' - 1, 'р' - 1.
Повторяющиеся буквы: 'к' - 2 раза ($n_1 = 2$), 'о' - 2 раза ($n_2 = 2$), 'и' - 2 раза ($n_3 = 2$), 'а' - 2 раза ($n_4 = 2$).

Число различных перестановок равно:

$$P_{13}(2, 2, 2, 2) = \frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{13!}{(2!)^4} = \frac{6227020800}{16} = 389188800$$

Ответ: 389 188 800.