Номер 36.7, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.7, страница 293.

Условие.

36.7. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{A_{10}^6 - A_{10}^5}{A_9^5 - A_9^4} $;

2) $ \frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9} $;

3) $ \frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} $, где $ m \in \mathbf{N}, n \in \mathbf{N}, n \leq m $.

Решение.

1) Найдем значение выражения $\frac{A_{10}^6 - A_{10}^5}{A_9^5 - A_9^4}$.

Воспользуемся свойством числа размещений: $A_n^k - A_n^{k-1} = A_n^{k-1}(n-k+1) - A_n^{k-1} = A_n^{k-1}(n-k)$.

Преобразуем числитель, где $n=10, k=6$:

$A_{10}^6 - A_{10}^5 = A_{10}^5 \cdot (10-6) = 4A_{10}^5$

Преобразуем знаменатель, где $n=9, k=5$:

$A_9^5 - A_9^4 = A_9^4 \cdot (9-5) = 4A_9^4$

Подставим преобразованные части обратно в выражение:

$\frac{4A_{10}^5}{4A_9^4} = \frac{A_{10}^5}{A_9^4}$

Теперь используем основную формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$\frac{A_{10}^5}{A_9^4} = \frac{\frac{10!}{(10-5)!}}{\frac{9!}{(9-4)!}} = \frac{\frac{10!}{5!}}{\frac{9!}{5!}} = \frac{10!}{5!} \cdot \frac{5!}{9!} = \frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$

Ответ: $10$.

2) Найдем значение выражения $\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9}$.

Используем формулы: число размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и число перестановок $P_n = n!$.

Подставим формулы в выражение:

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$

$P_7 = 7!$

$A_{11}^9 = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$

Теперь вычислим значение дроби:

$\frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$

Сократим факториалы, используя свойства $n! = n \cdot (n-1)!$:

$\frac{12 \cdot 11! \cdot 7! \cdot 2!}{8 \cdot 7! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: $3$.

3) Найдем значение выражения $\frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}}$, где $m, n \in \mathbb{N}, n \le m$.

Используем определения числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.

Выразим каждый компонент через факториалы:

$A_{m-1}^{n-1} = \frac{(m-1)!}{((m-1)-(n-1))!} = \frac{(m-1)!}{(m-n)!}$

$P_{m-n} = (m-n)!$

$P_{m-1} = (m-1)!$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\frac{(m-1)!}{(m-n)!} \cdot (m-n)!}{(m-1)!} = \frac{(m-1)!}{(m-1)!} = 1$

Условия $m, n \in \mathbb{N}$ и $n \le m$ гарантируют, что все аргументы факториалов являются неотрицательными целыми числами, поэтому выражение определено корректно.

Ответ: $1$.