Номер 36.10, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.10, страница 293.

Условие.

36.10. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_x^2 = 20$;

2) $A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4$;

3) $\frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2}$.

Решение.

1) $A_x^2 = 20$

Формула для числа размещений из $x$ элементов по 2: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$. Уравнение определено для натуральных чисел $x$ при условии $x \ge 2$. Подставим формулу в уравнение: $x(x-1) = 20$ $x^2 - x - 20 = 0$ Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются числа, произведение которых равно -20, а сумма равна 1. Это числа 5 и -4. $x_1 = 5$, $x_2 = -4$. Согласно условию, $x$ должно быть натуральным числом. Корень $x_2 = -4$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением. Корень $x_1 = 5$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $x=5$.

2) $A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4$

Используем формулы для числа размещений: $A_x^5 = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ $A_{x-2}^4 = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ Уравнение определено для натуральных $x$, при которых существуют оба выражения. Для $A_x^5$ необходимо $x \ge 5$. Для $A_{x-2}^4$ необходимо $x-2 \ge 4$, то есть $x \ge 6$. Таким образом, общее ограничение: $x \ge 6$. Подставим выражения в уравнение: $x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 18 \cdot (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ Поскольку $x \ge 6$, множители $(x-2)$, $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на их произведение $(x-2)(x-3)(x-4)$: $x(x-1) = 18(x-5)$ $x^2 - x = 18x - 90$ $x^2 - 19x + 90 = 0$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 19, а произведение равно 90. Это числа 9 и 10. $x_1 = 9$, $x_2 = 10$. Оба корня являются натуральными числами и удовлетворяют условию $x \ge 6$.

Ответ: $x=9; x=10$.

3) $\frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2}$

Используем определения размещений и перестановок: $A_x^3 = x(x-1)(x-2)$ $A_x^2 = x(x-1)$ $P_{x+1} = (x+1)!$ Уравнение определено для натуральных $x$ при $x \ge 3$. Преобразуем числитель дроби: $A_x^3 + 3A_x^2 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) = x(x-1)(x-2+3) = x(x-1)(x+1)$. Подставим преобразованный числитель в уравнение: $\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)!} = \frac{1}{2}$ Зная, что $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!$, мы можем сократить дробь. Так как $x \ge 3$, множители $x, (x-1), (x+1)$ не равны нулю. $\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)x(x-1)(x-2)!} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{(x-2)!} = \frac{1}{2}$ Отсюда следует, что $(x-2)! = 2$. Факториал равен 2 только для числа 2, то есть $2! = 2$. Следовательно, $x-2 = 2$. $x = 4$. Корень $x=4$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Ответ: $x=4$.