Номер 36.15, страница 294 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.15, страница 294.

Условие.

36.15. Сколько корней имеет уравнение $|x^2 - 4|x|| = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

Данная задача решается графическим методом. Количество корней уравнения $|x^2 - 4|x|| = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = |x^2 - 4|x||$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Построим график функции $y = |x^2 - 4|x||$ поэтапно.

1. Построим параболу $y = x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(2, -4)$ и пересечениями с осью Ox в точках $x=0$ и $x=4$.

2. Построим график четной функции $y = x^2 - 4|x|$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, функцию можно записать как $y = |x|^2 - 4|x|$.
Для $x \ge 0$, график этой функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 4x$.
Для $x < 0$, график симметрично отражается относительно оси Oy. В результате получается график, похожий на букву "W", с локальными минимумами в точках $(-2, -4)$ и $(2, -4)$, и локальным максимумом (углом) в точке $(0, 0)$.

3. Построим график искомой функции $y = |x^2 - 4|x||$. Для этого часть графика $y = x^2 - 4|x|$, которая лежит ниже оси Ox (на интервалах $(-4, 0)$ и $(0, 4)$), симметрично отражаем относительно оси Ox.
В результате точки локальных минимумов $(-2, -4)$ и $(2, -4)$ переходят в точки локальных максимумов $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Точка $(0, 0)$ остается на месте и становится точкой локального минимума. Корнями функции являются точки $x=-4, x=0, x=4$.

Теперь определим количество точек пересечения графика функции $y = |x^2 - 4|x||$ с прямой $y = a$ для различных значений параметра $a$.

При $a < 0$
Прямая $y=a$ расположена ниже оси абсцисс. Так как $y = |x^2 - 4|x|| \ge 0$ для всех $x$, график функции целиком лежит в верхней полуплоскости. Следовательно, точек пересечения нет.
Ответ: 0 корней.

При $a = 0$
Прямая $y=0$ совпадает с осью абсцисс. График пересекает ось в своих корнях. Уравнение $|x^2 - 4|x|| = 0$ равносильно $x^2 - 4|x| = 0$, или $|x|(|x|-4)=0$. Отсюда $|x|=0$ или $|x|=4$. Решениями являются $x=0$, $x=-4$, $x=4$.
Ответ: 3 корня.

При $0 < a < 4$
Прямая $y=a$ проходит между локальным минимумом в $y=0$ и локальными максимумами в $y=4$. Она пересечет каждую из четырех "внутренних" ветвей графика и две "внешние" ветви. Всего будет шесть точек пересечения.
Ответ: 6 корней.

При $a = 4$
Прямая $y=4$ касается графика в двух точках локальных максимумов ($x=-2$ и $x=2$) и пересекает две "внешние" ветви графика. Всего будет четыре точки пересечения.
Ответ: 4 корня.

При $a > 4$
Прямая $y=a$ проходит выше локальных максимумов и пересекает только две "внешние" ветви графика.
Ответ: 2 корня.