Номер 37.3, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.3, страница 298.

Условие.

37.3. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$

2) $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$

Решение.

1) Упростим выражение $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$.

Воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном выражении $C_{n+1}^{n-1}$ имеем $n$ (верхний индекс) равным $n+1$ и $k$ (нижний индекс) равным $n-1$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!((n+1)-(n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!}$.

Распишем факториал в числителе, чтобы сократить дробь: $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$.

Тогда:

$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2} = \frac{n(n+1)}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1} = \frac{2}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.

Сокращаем множители $2$ и $n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n+1$.

Ответ: $n+1$.

2) Упростим выражение $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$.

Для упрощения $C_{2n}^{2n-1}$ воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим это свойство:

$C_{2n}^{2n-1} = C_{2n}^{2n-(2n-1)} = C_{2n}^1$.

По определению, $C_m^1 = m$, следовательно, $C_{2n}^1 = 2n$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1} = \frac{3}{n} \cdot (2n)$.

Сокращаем $n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3}{n} \cdot 2n = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.