Номер 37.4, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.4, страница 298.

Условие.

37.4. Упростите выражение:

1) $\frac{6}{n+2} C_{n+2}^n;$

2) $\frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2}.$

Решение.

1) Упростим выражение $ \frac{6}{n+2}C_{n+2}^{n} $.

Для начала воспользуемся определением числа сочетаний (биномиального коэффициента): $ C_{k}^{m} = \frac{k!}{m!(k-m)!} $.

В данном выражении $ k = n+2 $ и $ m = n $.

Запишем $ C_{n+2}^{n} $ по формуле:

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)!}{n!((n+2)-n)!} = \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!} $

Теперь распишем факториал в числителе: $ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! $. Также учтем, что $ 2! = 2 $.

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{n! \cdot 2} $

Сократим $ n! $ в числителе и знаменателе:

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)(n+1)}{2} $

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$ \frac{6}{n+2} \cdot C_{n+2}^{n} = \frac{6}{n+2} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2} $

Сократим общий множитель $ (n+2) $:

$ \frac{6(n+1)}{2} $

Разделим 6 на 2 и получим окончательный результат:

$ 3(n+1) $

Ответ: $ 3(n+1) $

2) Упростим выражение $ \frac{1}{2n-1}C_{2n+1}^{2n-2} $.

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $ C_{k}^{m} = C_{k}^{k-m} $.

В нашем случае $ k = 2n+1 $ и $ m = 2n-2 $. Тогда $ k-m = (2n+1)-(2n-2) = 2n+1-2n+2 = 3 $.

Таким образом, $ C_{2n+1}^{2n-2} = C_{2n+1}^{3} $.

Теперь распишем $ C_{2n+1}^{3} $ по формуле числа сочетаний:

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)!}{3!((2n+1)-3)!} = \frac{(2n+1)!}{3!(2n-2)!} $

Распишем факториал в числителе: $ (2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)! $. Также учтем, что $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $.

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)!}{6 \cdot (2n-2)!} $

Сократим $ (2n-2)! $ в числителе и знаменателе:

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $

Теперь подставим это выражение в исходное:

$ \frac{1}{2n-1} \cdot C_{2n+1}^{2n-2} = \frac{1}{2n-1} \cdot \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $

Сократим общий множитель $ (2n-1) $:

$ \frac{(2n+1)(2n)}{6} $

Сократим дробь на 2:

$ \frac{n(2n+1)}{3} $

Ответ: $ \frac{n(2n+1)}{3} $