Номер 37.2, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.2, страница 298.

Условие.

37.2. Вычислите:

1) $C_8^3$;

2) $C_5^4$;

3) $C_{1000}^{999}$;

4) $C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1$.

Решение.

1) $C_8^3$

Для вычисления числа сочетаний $C_n^k$ (число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учёта порядка) используется формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=8$ и $k=3$. Подставим эти значения в формулу:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$

Расписываем факториалы и сокращаем:

$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

2) $C_5^4$

Применяем ту же формулу для $n=5$ и $k=4$:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!}$

Так как $5! = 5 \cdot 4!$ и $1! = 1$, получаем:

$C_5^4 = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5$

Также можно было воспользоваться свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = 5$

Ответ: 5

3) $C_{1000}^{999}$

Для $n=1000$ и $k=999$ удобнее всего воспользоваться свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, которое гласит, что количество способов выбрать $k$ элементов равно количеству способов не выбрать $n-k$ элементов:

$C_{1000}^{999} = C_{1000}^{1000-999} = C_{1000}^1$

Число сочетаний из $n$ по 1 всегда равно $n$, поэтому:

$C_{1000}^1 = 1000$

Проверка по основной формуле:

$C_{1000}^{999} = \frac{1000!}{999!(1000-999)!} = \frac{1000!}{999!1!} = \frac{1000 \cdot 999!}{999! \cdot 1} = 1000$

Ответ: 1000

4) $C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя частные случаи формулы сочетаний:

• $C_n^1 = n$ (выбрать один элемент из $n$ можно $n$ способами)
• $C_n^0 = 1$ (выбрать ноль элементов из $n$ можно только одним способом - ничего не выбрать)

Первое слагаемое:

$C_9^1 = 9$

Второе слагаемое:

$C_8^0 = 1$

Третье слагаемое:

$C_{17}^1 = 17$

Теперь сложим полученные значения:

$C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1 = 9 + 1 + 17 = 27$

Ответ: 27