Номер 36.14, страница 294 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.14, страница 294.

Условие.

36.14. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы все цифры были различными и среди них содержалась цифра 6?

Решение.

Для решения задачи необходимо найти количество трёхзначных чисел, составленных из цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, при соблюдении двух условий: все цифры в числе должны быть различны, и среди них обязательно должна быть цифра 6. Мы можем решить эту задачу, рассмотрев три возможных случая, основанных на положении цифры 6 в числе.

Случай 1: Цифра 6 стоит на первом месте (в разряде сотен).

Если первая цифра числа — 6, то число имеет вид 6 _ _. На второе место (разряд десятков) можно выбрать любую из оставшихся 6 цифр ({0, 1, 2, 3, 4, 5}). После выбора второй цифры, на третье место (разряд единиц) останется 5 вариантов. Количество чисел для этого случая:

$1 \times 6 \times 5 = 30$

Случай 2: Цифра 6 стоит на втором месте (в разряде десятков).

Если вторая цифра числа — 6, то число имеет вид _ 6 _. На первое место (разряд сотен) нельзя ставить 0 (так как число трёхзначное) и 6 (так как цифры должны быть различны). Следовательно, для первой цифры остаётся 5 вариантов ({1, 2, 3, 4, 5}). На третье место (разряд единиц) можно выбрать любую из оставшихся 5 цифр (из исходного набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} мы уже использовали две: одну для сотен и цифру 6). Количество чисел для этого случая:

$5 \times 1 \times 5 = 25$

Случай 3: Цифра 6 стоит на третьем месте (в разряде единиц).

Если третья цифра числа — 6, то число имеет вид _ _ 6. Рассуждения аналогичны второму случаю. На первое место (разряд сотен) есть 5 вариантов (любая цифра, кроме 0 и 6). На второе место (разряд десятков) также остаётся 5 вариантов (любая из оставшихся после выбора первой цифры и цифры 6). Количество чисел для этого случая:

$5 \times 5 \times 1 = 25$

Для нахождения общего количества различных трёхзначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, необходимо сложить количества, полученные в каждом из трёх случаев:

$30 + 25 + 25 = 80$

Ответ: 80