Номер 36.8, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.8, страница 293.

Условие.

36.8. Докажите, что $A_n^{n-1} = P_n$, где $n \in \mathbb{N}, n > 1$.

Решение.

Для доказательства равенства $A_n^{n-1} = P_n$ необходимо воспользоваться определениями числа размещений ($A_n^k$) и числа перестановок ($P_n$).

1. Преобразуем левую часть равенства.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В левой части доказываемого равенства стоит выражение $A_n^{n-1}$. Здесь $k = n-1$. Подставим это значение в формулу:

$A_n^{n-1} = \frac{n!}{(n-(n-1))!}$

Упростим выражение в знаменателе:

$(n-(n-1))! = (n - n + 1)! = 1!$

Так как $1! = 1$, то левая часть равенства равна:

$A_n^{n-1} = \frac{n!}{1} = n!$

2. Рассмотрим правую часть равенства.

Правая часть равенства — это $P_n$, число перестановок из $n$ элементов. По определению, оно вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

3. Сравним левую и правую части.

Мы получили, что $A_n^{n-1} = n!$ и $P_n = n!$.

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же выражению ($n!$), то равенство $A_n^{n-1} = P_n$ является верным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем преобразования его левой и правой частей с использованием стандартных формул комбинаторики: $A_n^{n-1} = \frac{n!}{(n-(n-1))!} = n!$ и $P_n = n!$.