Номер 37.6, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.6, страница 298.

Условие.

37.6. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 120;$

2) $C_{x+2}^3 = 7(x+2);$

3) $C_x^{x-2} = 66;$

4) $11C_{2x}^x = 6C_{2x+1}^{x+1}.$

Решение.

1) $C_x^2 = 120$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Условие существования $C_x^2$ для натурального $x$ — это $x \ge 2$.

Расписываем формулу для данного случая:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{(x-2)! \cdot (x-1)x}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = 120$

$x(x-1) = 240$

$x^2 - x - 240 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что $16 \cdot 15 = 240$, поэтому $x=16$ является корнем. Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961 = 31^2$

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

По условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом, а также удовлетворять условию $x \ge 2$. Корень $x=16$ удовлетворяет этим условиям. Корень $x=-15$ не является натуральным числом.

Ответ: $16$

2) $C_{x+2}^3 = 7(x+2)$

По определению числа сочетаний, условие его существования для натурального $x$ — это $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$. Так как $x$ - натуральное число, это условие выполняется.

Расписываем формулу сочетаний:

$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x-1)! \cdot x(x+1)(x+2)}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$

Подставляем в уравнение:

$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 7(x+2)$

Так как $x \ge 1$, то $x+2 \ne 0$. Можем разделить обе части уравнения на $(x+2)$:

$\frac{x(x+1)}{6} = 7$

$x(x+1) = 42$

$x^2 + x - 42 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через подбор можно найти корни: $6 \cdot 7 = 42$, значит $x=6$ является корнем.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

$x_{1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_{2} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Корень $x=6$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$. Корень $x=-7$ не является натуральным.

Ответ: $6$

3) $C_x^{x-2} = 66$

Используем свойство симметрии для числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$C_x^2 = 66$

Условие существования $C_x^2$ для натурального $x$ — это $x \ge 2$.

Расписываем формулу:

$C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$

$\frac{x(x-1)}{2} = 66$

$x(x-1) = 132$

$x^2 - x - 132 = 0$

Решим квадратное уравнение. Заметим, что $12 \cdot 11 = 132$, поэтому $x=12$ является корнем.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 = 23^2$

$x_{1} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_{2} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Корень $x=12$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$. Корень $x=-11$ не является натуральным.

Ответ: $12$

4) $11C_{2x}^x = 6C_{2x+1}^{x+1}$

Условие существования сочетаний для натурального $x$: $2x \ge x$ (что означает $x \ge 0$) и $2x+1 \ge x+1$ (что означает $x \ge 0$). Так как ищем натуральные решения, то $x \ge 1$.

Расписываем оба выражения по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{2x}^x = \frac{(2x)!}{x!(2x-x)!} = \frac{(2x)!}{x!x!}$

$C_{2x+1}^{x+1} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!((2x+1)-(x+1))!} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!x!}$

Подставляем в исходное уравнение:

$11 \cdot \frac{(2x)!}{x!x!} = 6 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x+1)!x!}$

Преобразуем факториалы в правой части: $(2x+1)! = (2x)! \cdot (2x+1)$ и $(x+1)! = x! \cdot (x+1)$.

$11 \cdot \frac{(2x)!}{x!x!} = 6 \cdot \frac{(2x)! \cdot (2x+1)}{x! \cdot (x+1) \cdot x!}$

Так как $x \ge 1$, выражение $\frac{(2x)!}{x!x!}$ не равно нулю, поэтому можно сократить обе части уравнения на него:

$11 = 6 \cdot \frac{2x+1}{x+1}$

Решаем полученное линейное уравнение:

$11(x+1) = 6(2x+1)$

$11x + 11 = 12x + 6$

$11 - 6 = 12x - 11x$

$x = 5$

Корень $x=5$ является натуральным числом и удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $5$