Номер 37.11, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.11, страница 298.

Условие.

37.11. В классе 25 учащихся. Для изучения иностранного языка их надо разбить на две группы по 13 и 12 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

37.11.

Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно выбрать одну из двух групп. Как только одна группа будет сформирована, вторая группа определится автоматически из оставшихся учеников.

Найдем количество способов сформировать группу из 13 учащихся из общего числа 25. Поскольку порядок выбора учеников в группу не важен, используется формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество учащихся $n = 25$, и мы выбираем из них группу размером $k = 13$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{25}^{13} = \frac{25!}{13!(25-13)!} = \frac{25!}{13!12!}$

Распишем выражение для вычисления, сократив $13!$ в числителе и знаменателе:

$C_{25}^{13} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем сокращение дроби. Последовательно сокращая множители в числителе и знаменателе (например, $24$ и $12 \times 2$; $22$ и $11$; $20$ и $10$; и так далее), мы получим итоговое произведение:

$C_{25}^{13} = 25 \times 23 \times 19 \times 17 \times 14 \times 2 = 5200300$

Для проверки вычислений можно сгруппировать множители:
$C_{25}^{13} = (25 \times 4) \times 7 \times 23 \times 19 \times 17 / (4 \times 7 / 28)$... Это сложный путь.
Проще посчитать:
$25 \times 23 \times 19 \times 17 \times 14 \times 2 = 5200300$
$25 \times (2 \times 14) \times 23 \times 19 \times 17 = 25 \times 28 \times 23 \times 19 \times 17$
$25 \times 28 = 700$
$19 \times 17 = 323$
$23 \times 323 = 7429$
$700 \times 7429 = 5200300$

Таким образом, существует 5 200 300 способов разделить класс на две группы по 13 и 12 человек. Отметим, что результат был бы таким же, если бы мы искали число способов выбрать группу из 12 человек: $C_{25}^{12} = C_{25}^{13}$.

Ответ: 5200300.