Номер 35.23, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.23, страница 290.

Условие.

35.23. У ученика есть 7 книг по математике, 4 книги по физике и 2 книги по астрономии. Сколькими способами он может расставить эти книги на полке так, чтобы книги по одному предмету стояли рядом?

Решение.

35.23.

Поскольку по условию задачи книги по одному и тому же предмету должны стоять рядом, мы можем рассматривать каждую группу книг как один единый блок. Таким образом, у нас есть три блока:

• Блок 1: 7 книг по математике
• Блок 2: 4 книги по физике
• Блок 3: 2 книги по астрономии

Решение задачи можно разбить на два этапа:

1. Расстановка блоков. Сначала мы находим, сколькими способами можно расставить на полке эти три блока (математика, физика, астрономия). Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $3!$ (3 факториал).
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

2. Расстановка книг внутри каждого блока. Теперь для каждого блока нужно посчитать, сколькими способами можно переставить книги внутри него.

• В блоке по математике 7 книг, их можно переставить $7!$ способами.
  $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.
• В блоке по физике 4 книги, их можно переставить $4!$ способами.
  $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.
• В блоке по астрономии 2 книги, их можно переставить $2!$ способами.
  $2! = 2 \times 1 = 2$ способа.

3. Общее количество способов. Чтобы найти итоговое количество способов расстановки, нужно перемножить количество способов расстановки блоков и количество способов расстановки книг внутри каждого блока (согласно правилу произведения в комбинаторике).
Общее число способов $N$ равно:
$N = (число\ перестановок\ блоков) \times (число\ перестановок\ в\ блоке\ математики) \times (число\ перестановок\ в\ блоке\ физики) \times (число\ перестановок\ в\ блоке\ астрономии)$
$N = 3! \times 7! \times 4! \times 2!$
$N = 6 \times 5040 \times 24 \times 2 = 6 \times 5040 \times 48$
$N = 30240 \times 48 = 1451520$
Таким образом, существует 1 451 520 способов расставить книги на полке в соответствии с заданным условием.

Ответ: 1 451 520.