Номер 35.17, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.17, страница 289.

Условие.

35.17. В селе 1100 жителей. Докажите, что по крайней мере у двух из них одинаковые инициалы.

Решение.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Этот принцип гласит, что если $n$ предметов нужно разложить по $m$ ящикам, и при этом число предметов $n$ больше числа ящиков $m$ ($n > m$), то по крайней мере в одном ящике окажется больше одного предмета.

В нашей задаче:

• "Предметы" (или "голуби" в классической формулировке) — это 1100 жителей села.
• "Ящики" (или "клетки") — это все возможные уникальные комбинации инициалов.

Сначала вычислим максимальное количество возможных уникальных инициалов. Инициалы состоят из двух букв: первой буквы имени и первой буквы фамилии.

В русском алфавите 33 буквы. Предположим, что имя и фамилия могут начинаться с любой из этих букв.

Количество вариантов для первой буквы инициала (от имени) — 33.
Количество вариантов для второй буквы инициала (от фамилии) — 33.

Тогда общее число всех возможных уникальных пар инициалов равно произведению числа вариантов для каждой буквы:
$N_{инициалов} = 33 \times 33 = 1089$

Теперь сравним количество жителей с количеством возможных инициалов:

• Количество жителей: 1100.
• Количество уникальных инициалов: 1089.

Поскольку число жителей (1100) больше, чем число возможных уникальных инициалов (1089), то согласно принципу Дирихле, обязательно найдется хотя бы одна комбинация инициалов, которая принадлежит более чем одному жителю. Это означает, что по крайней мере у двух жителей будут одинаковые инициалы.

Ответ: Доказательство основано на принципе Дирихле. Максимальное число возможных уникальных инициалов, которые можно составить из 33 букв русского алфавита, равно $33 \times 33 = 1089$. Поскольку число жителей в селе (1100) больше этого числа ($1100 > 1089$), по крайней мере у двух жителей инициалы обязаны совпадать.