Номер 35.14, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.14, страница 289.

Условие.

35.14. Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

Решение.

Задача состоит в том, чтобы найти количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, при условии, что все цифры в числе различны.

Число является чётным, если его последняя цифра — чётная. Из предоставленного набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} чётными являются 2 и 4. Следовательно, на последней, пятой, позиции числа может стоять только одна из этих двух цифр.

Для решения задачи воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Рассмотрим количество возможных вариантов для каждой позиции в пятизначном числе, начиная с той, на которую наложено самое строгое ограничение — последней.

Выбор последней цифры (разряд единиц): На это место можно поставить либо 2, либо 4. Таким образом, у нас есть 2 варианта.

После того как последняя цифра выбрана, для заполнения оставшихся четырёх позиций (десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки) у нас осталось $5 - 1 = 4$ цифры.
На первую позицию можно поставить любую из 4 оставшихся цифр.
На вторую позицию — любую из 3 оставшихся.
На третью — любую из 2 оставшихся.
На четвертую — последнюю оставшуюся цифру.

Количество способов расставить 4 оставшиеся цифры по четырём местам равно числу перестановок из 4 элементов: $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Общее количество чётных пятизначных чисел равно произведению количества вариантов для последней цифры и количества вариантов для расстановки остальных цифр:
$N = 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$.

Ответ: 48