Номер 2, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) Упростим выражение $4x^{-7}y^{10} \cdot 3{,}5x^4y^{-5}$.

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$(4 \cdot 3{,}5) \cdot (x^{-7} \cdot x^4) \cdot (y^{10} \cdot y^{-5})$$

Выполним вычисления по действиям:

• Перемножим числовые множители: $4 \cdot 3{,}5 = 14$;
• Сложим показатели степеней переменной $x$: $x^{-7} \cdot x^4 = x^{-7 + 4} = x^{-3}$;
• Сложим показатели степеней переменной $y$: $y^{10} \cdot y^{-5} = y^{10 + (-5)} = y^5$.

Запишем результат в виде произведения, а затем избавимся от отрицательного показателя степени с помощью формулы $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$$14x^{-3}y^5 = \frac{14y^5}{x^3}$$

б) Упростим выражение $\left(\frac{2a^{-5}}{5b^4}\right)^{-1} \cdot 12a^{-6}b^3$.

Сначала применим свойство степени дроби с отрицательным показателем $\left(\frac{u}{v}\right)^{-1} = \frac{v}{u}$ к первой скобке:

$$\left(\frac{2a^{-5}}{5b^4}\right)^{-1} = \frac{5b^4}{2a^{-5}}$$

Теперь перемножим полученную дробь и выражение $12a^{-6}b^3$:

$$\frac{5b^4}{2a^{-5}} \cdot 12a^{-6}b^3 = \frac{5 \cdot 12 \cdot a^{-6} \cdot b^4 \cdot b^3}{2a^{-5}}$$

Упростим каждую часть полученного выражения:

• Числовой коэффициент: $\frac{5 \cdot 12}{2} = \frac{60}{2} = 30$;
• Степени с основанием $a$ (при делении показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $\frac{a^{-6}}{a^{-5}} = a^{-6 - (-5)} = a^{-6 + 5} = a^{-1}$;
• Степени с основанием $b$ (при умножении показатели складываются): $b^4 \cdot b^3 = b^{4 + 3} = b^7$.

Получаем выражение: $30a^{-1}b^7$, или в виде дроби:

$$\frac{30b^7}{a}$$

Ответ:

а) $14x^{-3}y^5$ или $\frac{14y^5}{x^3}$;

б) $30a^{-1}b^7$ или $\frac{30b^7}{a}$.