Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

4.Решение:

Для того чтобы вычислить значение выражения, приведём все степени к одному основанию — числу $3$:

• Представим $27$ как степень тройки: $27 = 3^3$, тогда по свойству степени при возведении степени в степень перемножаем показатели:
  $27^{-6} = (3^3)^{-6} = 3^{3 \cdot (-6)} = 3^{-18}$
• Представим $9$ как степень тройки: $9 = 3^2$, тогда:
  $9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$

Подставим полученные степени в числитель дроби:

$$\frac{27^{-6} \cdot 9^5}{3^{-4}} = \frac{3^{-18} \cdot 3^{10}}{3^{-4}}$$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$\frac{3^{-18 + 10}}{3^{-4}} = \frac{3^{-8}}{3^{-4}}$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя числителя вычитается показатель знаменателя ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$$3^{-8 - (-4)} = 3^{-8 + 4} = 3^{-4}$$

Используем определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$$

Ответ: $\frac{1}{81}$