Номер 3, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Данная функция $y = \frac{1}{3}x - 2$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, а свободный член $b = -2$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для её построения достаточно выбрать две точки.

Выберем удобные значения аргумента $x$, кратные $3$, чтобы значение $y$ было целым числом:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
• Если $x = 3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 3 - 2 = 1 - 2 = -1$. Получаем точку $(3; -1)$.
• Если $x = 6$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 6 - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(6; 0)$ — точку пересечения с осью абсцисс.

Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки с координатами $(0; -2)$ и $(3; -1)$ (или $(6; 0)$) и проводим через них с помощью линейки прямую линию по всей длине координатной сетки.

Свойства функции $y = \frac{1}{3}x - 2$:

1.Область определения функции $D(y)$: множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2.Множество (область) значений функции $E(y)$: множество всех действительных чисел, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

3.Нули функции: значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю ($y = 0$):
$\frac{1}{3}x - 2 = 0 \implies \frac{1}{3}x = 2 \implies x = 6$.
Следовательно, график пересекает ось $Ox$ в точке $(6; 0)$.

4.Пересечение с осью ординат ($Oy$): при $x = 0$ получаем $y = -2$. Точка пересечения — $(0; -2)$.

5.Монотонность функции: так как угловой коэффициент $k = \frac{1}{3} > 0$, функция является строго возрастающей на всей области определения.

6.Промежутки знакопостоянства:

• $y > 0$ при $\frac{1}{3}x - 2 > 0 \implies x > 6$, то есть на интервале $(6; +\infty)$;
• $y < 0$ при $\frac{1}{3}x - 2 < 0 \implies x < 6$, то есть на интервале $(-\infty; 6)$.