Номер 4.47, страница 22 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 4. Удельная теплоемкость. Уравнение теплового баланса - номер 4.47, страница 22.

Условие.

4.47. Температура холодной и горячей воды соответственно $12 \text{ °C}$ и $70 \text{ °C}$. Сколько холодной и горячей воды потребуется, чтобы наполнить ванну водой при температуре $37 \text{ °C}$? Масса воды в ванне 150 кг.

Решение.

Дано:

$t_1 = 12$ °C (температура холодной воды)

$t_2 = 70$ °C (температура горячей воды)

$t = 37$ °C (конечная температура смеси)

$m = 150$ кг (общая масса воды в ванне)

Все единицы измерения соответствуют системе СИ или являются общепринятыми в тепловых расчетах (градусы Цельсия), поэтому перевод не требуется.

Найти:

$m_1$ — масса холодной воды

$m_2$ — масса горячей воды

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. В изолированной системе количество теплоты, отданное горячей водой при остывании, равно количеству теплоты, полученному холодной водой при нагревании. Теплообменом с ванной и окружающей средой пренебрегаем.

Количество теплоты, отданное горячей водой:

$Q_{отданное} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Количество теплоты, полученное холодной водой:

$Q_{полученное} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

где $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды.

Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Удельную теплоемкость воды $\text{c}$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$m_2 \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1)$

Общая масса воды в ванне является суммой масс холодной и горячей воды:

$m = m_1 + m_2$

Отсюда выразим массу горячей воды:

$m_2 = m - m_1$

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$(m - m_1) \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m_1$:

$m \cdot (t_2 - t) - m_1 \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1)$

$m \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1) + m_1 \cdot (t_2 - t)$

$m \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1 + t_2 - t)$

$m \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t_2 - t_1)$

Отсюда находим массу холодной воды $m_1$:

$m_1 = m \cdot \frac{t_2 - t}{t_2 - t_1}$

Подставим числовые значения:

$m_1 = 150 \text{ кг} \cdot \frac{70 - 37}{70 - 12} = 150 \cdot \frac{33}{58} = \frac{4950}{58} \approx 85.34 \text{ кг}$

Теперь найдем массу горячей воды $m_2$:

$m_2 = m - m_1 = 150 \text{ кг} - 85.34 \text{ кг} = 64.66 \text{ кг}$

Округлим результаты до одного знака после запятой.

Ответ: потребуется 85,3 кг холодной воды и 64,7 кг горячей воды.