Номер 4.48, страница 22 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 4. Удельная теплоемкость. Уравнение теплового баланса - номер 4.48, страница 22.

Условие.

4.48. Сколько нужно смешать горячей воды, имеющей температуру 90 °C, и холодной, имеющей температуру 10 °C, чтобы получить воду массой 100 кг и температурой 30 °C?

Решение.

Дано:

$t_1 = 90^\circ\text{C}$ (температура горячей воды)

$t_2 = 10^\circ\text{C}$ (температура холодной воды)

$m = 100 \text{ кг}$ (масса полученной смеси)

$t = 30^\circ\text{C}$ (конечная температура смеси)

Найти:

$m_1$ (масса горячей воды) - ?

$m_2$ (масса холодной воды) - ?

Решение:

Для решения задачи составим систему уравнений, основанную на законе сохранения массы и уравнении теплового баланса.

1. Закон сохранения массы гласит, что общая масса смеси равна сумме масс ее компонентов:

$m_1 + m_2 = m$

$m_1 + m_2 = 100 \text{ кг}$

2. Уравнение теплового баланса утверждает, что в изолированной системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному менее нагретыми. В нашем случае горячая вода отдает тепло, а холодная — получает.

Количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), рассчитывается по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

Количество теплоты, полученное холодной водой ($Q_{пол}$), рассчитывается по формуле:

$Q_{пол} = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Здесь $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды.

Приравниваем отданное и полученное количество теплоты:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

$c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t) = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Поскольку удельная теплоемкость воды $\text{c}$ одинакова для обеих частей уравнения, мы можем ее сократить:

$m_1 \cdot (t_1 - t) = m_2 \cdot (t - t_2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $m_1$ и $m_2$:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 100 \\ m_1 \cdot (90 - 30) = m_2 \cdot (30 - 10) \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$m_1 \cdot 60 = m_2 \cdot 20$

Разделим обе части уравнения на 20:

$3m_1 = m_2$

Теперь подставим это выражение для $m_2$ в первое уравнение системы:

$m_1 + 3m_1 = 100$

$4m_1 = 100$

$m_1 = \frac{100}{4}$

$m_1 = 25 \text{ кг}$

Мы нашли массу горячей воды. Теперь найдем массу холодной воды, используя ранее выведенное соотношение $m_2 = 3m_1$:

$m_2 = 3 \cdot 25 = 75 \text{ кг}$

Проверка: $m_1 + m_2 = 25 \text{ кг} + 75 \text{ кг} = 100 \text{ кг}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: нужно смешать 25 кг горячей воды и 75 кг холодной воды.