Номер 16.22, страница 80 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 16. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 16.22, страница 80.

Условие.

16.22. Начертите схемы возможных различных соединений из четырех одинаковых резисторов.

Решение.

Существует 10 возможных различных (топологически неизоморфных) схем соединений из четырех одинаковых резисторов. Пусть сопротивление каждого резистора равно $\text{R}$. Ниже приведены схемы этих соединений и расчет их эквивалентного сопротивления.

1. Последовательное соединение

Все четыре резистора соединены друг за другом в одну цепь.

Схема:
A----[ R ]----[ R ]----[ R ]----[ R ]----B

Эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений всех резисторов:
$R_{экв} = R + R + R + R = 4R$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\text{4R}$.

2. Параллельное соединение

Все четыре резистора подключены к одной и той же паре узлов.

Схема:
+----[ R ]----+
¦ +----[ R ]----+ ¦
A----¦ ¦ ¦ ¦ ¦----B
¦ +----[ R ]----+ ¦
+----[ R ]----+

Величина, обратная эквивалентному сопротивлению, равна сумме обратных величин сопротивлений:
$\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{4}{R}$
$R_{экв} = \frac{R}{4}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{R}{4}$.

3. Смешанное соединение: три параллельно, один последовательно

Три резистора соединены параллельно, и эта группа соединена последовательно с четвертым резистором.

Схема:
+----[ R ]----+
A----[ R ]----¦----[ R ]----¦----B
+----[ R ]----+

Сначала находим сопротивление параллельной группы ($R_{пар}$), а затем добавляем сопротивление последовательного резистора:
$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} \Rightarrow R_{пар} = \frac{R}{3}$
$R_{экв} = R_{пар} + R = \frac{R}{3} + R = \frac{4R}{3}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{4R}{3}$.

4. Смешанное соединение: три последовательно, один параллельно

Три резистора соединены последовательно, и эта группа соединена параллельно с четвертым резистором.

Схема:
+----[ R ]----[ R ]----[ R ]----+
A----¦ ¦----B
+------------[ R ]------------+

Сначала находим сопротивление последовательной группы ($R_{посл}$), а затем вычисляем общее сопротивление параллельного соединения:
$R_{посл} = R + R + R = 3R$
$\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{R_{посл}} + \frac{1}{R} = \frac{1}{3R} + \frac{1}{R} = \frac{1+3}{3R} = \frac{4}{3R}$
$R_{экв} = \frac{3R}{4}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{3R}{4}$.

5. Смешанное соединение: две последовательные пары параллельно (мостовая схема)

Две ветви, каждая из которых состоит из двух последовательно соединенных резисторов, соединены параллельно.

Схема:
+----[ R ]----[ R ]----+
A----¦ ¦----B
+----[ R ]----[ R ]----+

Сопротивление каждой ветви равно $\text{2R}$. Общее сопротивление:
$\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$
$R_{экв} = R$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\text{R}$.

6. Смешанное соединение: две параллельные пары последовательно (H-схема)

Две группы, каждая из которых состоит из двух параллельно соединенных резисторов, соединены последовательно.

Схема:
+----[ R ]----+ +----[ R ]----+
A-----------¦----[ R ]----¦------¦----[ R ]----¦-----------B
+-----------+ +-----------+

Сопротивление каждой параллельной группы равно $R/2$. Общее сопротивление:
$R_{экв} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\text{R}$.

7. Смешанное соединение: две параллельно и две последовательно с ними

Группа из двух параллельно соединенных резисторов соединена последовательно с двумя другими резисторами.

Схема:
+----[ R ]----+
A-----------¦----[ R ]----¦----[ R ]----[ R ]----B
+-----------+

Сопротивление параллельной группы $R/2$. Общее сопротивление:
$R_{экв} = \frac{R}{2} + R + R = \frac{5R}{2}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{5R}{2}$.

8. Смешанное соединение: две последовательно, параллельно с третьим, и все последовательно с четвертым

Два резистора соединены последовательно, эта пара подключена параллельно к третьему, и вся эта группа соединена последовательно с четвертым резистором.

Схема:
+----[ R ]----[ R ]----+
A----¦ ¦----[ R ]----B
+--------[ R ]--------+

Сопротивление блока из трех резисторов: $R_{блок} = \frac{(R+R) \cdot R}{(R+R) + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2R}{3}$.
Общее сопротивление:
$R_{экв} = R_{блок} + R = \frac{2R}{3} + R = \frac{5R}{3}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{5R}{3}$.

9. Смешанное соединение: две параллельно, последовательно с третьим, и все параллельно с четвертым

Два резистора соединены параллельно, эта пара подключена последовательно к третьему, и вся эта группа соединена параллельно с четвертым резистором.

Схема:
+----[ R ]----+
+-----------¦----[ R ]----¦----[ R ]----+
A----¦ +-----------+ ¦----B
+----------------[ R ]----------------+

Сопротивление блока из трех резисторов: $R_{блок} = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$.
Общее сопротивление:
$R_{экв} = \frac{R_{блок} \cdot R}{R_{блок} + R} = \frac{(3R/2) \cdot R}{(3R/2) + R} = \frac{3R^2/2}{5R/2} = \frac{3R}{5}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{3R}{5}$.

10. Смешанное соединение: две последовательно, параллельно с двумя другими

Два резистора соединены последовательно, и эта группа подключена параллельно к двум другим резисторам, которые также подключены параллельно к основным выводам.

Схема:
+----[ R ]----[ R ]----+
¦ ¦
A----¦--------[ R ]--------¦----B
¦ ¦
+--------[ R ]--------+

Имеем три параллельные ветви с сопротивлениями $\text{2R}$, $\text{R}$ и $\text{R}$.
$\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{1+2+2}{2R} = \frac{5}{2R}$
$R_{экв} = \frac{2R}{5}$

Ответ: Эквивалентное сопротивление равно $\frac{2R}{5}$.