Номер 11.10, страница 63 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.10, страница 63.

Условие.

11.10. Нагретый алюминиевый куб положили на лед, и куб полностью погрузился в лед. До какой температуры $\text{t}$ был нагрет куб? Температура льда $0°C$, потерями тепла можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Температура льда, $t_л = 0 \text{ °C}$

Конечная температура системы, $t_к = 0 \text{ °C}$

Для решения задачи потребуются справочные данные:

Удельная теплоемкость алюминия, $c_{Ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda_л = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Плотность алюминия, $\rho_{Ал} = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Плотность льда, $\rho_л = 900 \frac{кг}{м^3}$

Все данные находятся в системе СИ или совместимых с ней единицах.

Найти:

Начальную температуру алюминиевого куба, $\text{t}$.

Решение:

Когда нагретый алюминиевый куб кладут на лед, он начинает отдавать свое тепло льду. Лед, находящийся при температуре плавления ($0 \text{ °C}$), поглощает это тепло и тает. Процесс продолжается до тех пор, пока куб не остынет до $0 \text{ °C}$. Поскольку потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь, количество теплоты, отданное кубом при остывании ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, поглощенному льдом при плавлении ($Q_{пол}$).

Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, отданное алюминиевым кубом массой $m_{Ал}$ при остывании от начальной температуры $\text{t}$ до конечной температуры $t_к = 0 \text{ °C}$, рассчитывается по формуле:

$Q_{отд} = c_{Ал} \cdot m_{Ал} \cdot (t - t_к) = c_{Ал} \cdot m_{Ал} \cdot t$

Количество теплоты, необходимое для плавления льда массой $m_л$, рассчитывается по формуле:

$Q_{пол} = \lambda_л \cdot m_л$

Приравняв эти два выражения, получим:

$c_{Ал} \cdot m_{Ал} \cdot t = \lambda_л \cdot m_л$

В задаче не указаны ни масса, ни размеры куба. Однако мы можем выразить массы через плотности и объем. Пусть ребро куба равно $\text{a}$, тогда его объем $V = a^3$.

Масса алюминиевого куба:

$m_{Ал} = \rho_{Ал} \cdot V$

Согласно условию, куб полностью погрузился в лед. Это означает, что он растопил объем льда, равный собственному объему куба, то есть $\text{V}$. Масса растаявшего льда:

$m_л = \rho_л \cdot V$

Теперь подставим выражения для масс в уравнение теплового баланса:

$c_{Ал} \cdot (\rho_{Ал} \cdot V) \cdot t = \lambda_л \cdot (\rho_л \cdot V)$

Как видим, объем $\text{V}$ присутствует в обеих частях уравнения, и его можно сократить:

$c_{Ал} \cdot \rho_{Ал} \cdot t = \lambda_л \cdot \rho_л$

Теперь выразим искомую температуру $\text{t}$:

$t = \frac{\lambda_л \cdot \rho_л}{c_{Ал} \cdot \rho_{Ал}}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 900 \frac{кг}{м^3}}{920 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 2700 \frac{кг}{м^3}} = \frac{3.3 \cdot 10^5 \cdot 900}{920 \cdot 2700} \text{ °C} = \frac{3.3 \cdot 10^5}{920 \cdot 3} \text{ °C} = \frac{1.1 \cdot 10^5}{920} \text{ °C} \approx 119.57 \text{ °C}$

Округлив до двух значащих цифр, получаем примерно $120 \text{ °C}$.

Ответ: начальная температура куба была примерно $120 \text{ °C}$.