Номер 283, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 283, страница 57.

Условие 2023.

283. На рисунке 91 изображена окружность с центром в точке O. Найдите:

1) $\angle BDC$, если $\angle BAC = 40^{\circ}$;

2) $\angle BEC$, если $\angle BOC = 70^{\circ}$;

3) $\cup CE$, если $\angle CDE = 80^{\circ}$;

4) $\angle DBA$, если $\cup DBA = 300^{\circ}$.

Рис. 91

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) ∠BDC, если ∠BAC = 40°

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $ \angle BDC $ и $ \angle BAC $ оба опираются на дугу BC. Следовательно, они равны.

$ \angle BDC = \angle BAC = 40^\circ $

Ответ: $ 40^\circ $

2) ∠BEC, если ∠BOC = 70°

Угол $ \angle BOC $ является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, градусная мера дуги BC ($ \overset{\frown}{BC} $) равна $ 70^\circ $.

$ \overset{\frown}{BC} = \angle BOC = 70^\circ $

Угол $ \angle BEC $ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу BC. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$ \angle BEC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ $

Ответ: $ 35^\circ $

3) ◡CE, если ∠CDE = 80°

Угол $ \angle CDE $ является вписанным углом, который опирается на дугу CE ($ \overset{\frown}{CE} $). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера дуги равна удвоенной градусной мере вписанного угла.

$ \overset{\frown}{CE} = 2 \cdot \angle CDE = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ $

Ответ: $ 160^\circ $

4) ∠DBA, если ◡DBA = 300°

Дуга $ \overset{\frown}{DBA} $ — это дуга, проходящая от точки D через точку B до точки A. Эта дуга и меньшая дуга DA вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $ 360^\circ $.

Найдем градусную меру дуги DA ($ \overset{\frown}{DA} $):

$ \overset{\frown}{DA} = 360^\circ - \overset{\frown}{DBA} = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ $

Угол $ \angle DBA $ является вписанным углом, который опирается на дугу DA. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$ \angle DBA = \frac{1}{2} \overset{\frown}{DA} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $

Ответ: $ 30^\circ $

Условие 2015-2022.

Рис. 91

283. На рисунке 91 изображена окружность с центром в точке O. Найдите:

1) $\angle BDC$, если $\angle BAC = 40^\circ$;

2) $\angle BEC$, если $\angle BOC = 70^\circ$;

3) $\cup CE$, если $\angle CDE = 80^\circ$;

4) $\angle DBA$, если $\cup DBA = 300^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).