Номер 290, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 290, страница 57.

Условие 2023.

290. Хорды AB и CD равны (рис. 96). Докажите, что $\frown{AMB} = \frown{CND}$.

Рис. 96

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся известной теоремой о связи между длинами хорд и градусными мерами дуг в окружности.

Доказательство:

Существует теорема: в одной окружности или в равных окружностях равные хорды стягивают равные дуги.

По условию задачи нам дано, что хорды $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

Хорда $AB$ стягивает дугу $AMB$. Хорда $CD$ стягивает дугу $CND$. Точки $M$ и $N$ на дугах указывают, что речь идет о меньших дугах, соответствующих этим хордам.

Согласно вышеупомянутой теореме, из того, что хорды равны ($AB = CD$), напрямую следует, что и дуги, которые они стягивают, также равны.

Следовательно, $◡AMB = ◡CND$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Согласно свойству окружности, равные хорды стягивают равные дуги. Поскольку по условию $AB = CD$, то и стягиваемые ими дуги $◡AMB$ и $◡CND$ равны.

Условие 2015-2022.

290. Хорды AB и CD равны (рис. 96). Докажите, что $\stackrel{\frown}{AMB} = \stackrel{\frown}{CND}$.

Рис. 93 Рис. 94 Рис. 95 Рис. 96

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).