Номер 297, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 297, страница 58.

Условие 2023.

297. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$ (рис. 97). Докажите, что $\angle AMC = \frac{1}{2}(\cup AC + \cup BD)$.

Рис. 97

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства утверждения выполним дополнительное построение. Соединим точки B и C отрезком. В результате получим треугольник BCM.

Угол AMC является внешним углом для треугольника BCM. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. В данном случае, это углы $\angle CBM$ (или $\angle ABC$) и $\angle BCM$ (или $\angle BCD$).

Таким образом, мы можем записать равенство:

$\angle AMC = \angle CBM + \angle BCM$

Теперь рассмотрим каждый из этих углов по отдельности:

1. Угол $\angle CBM$ (он же $\angle ABC$) является вписанным в окружность углом. Он опирается на дугу AC. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно:

   $\angle CBM = \frac{1}{2} \cup AC$

2. Угол $\angle BCM$ (он же $\angle BCD$) также является вписанным в окружность углом. Он опирается на дугу BD. Его величина равна половине градусной меры этой дуги:

   $\angle BCM = \frac{1}{2} \cup BD$

Подставим полученные выражения для углов $\angle CBM$ и $\angle BCM$ в исходное равенство для $\angle AMC$:

$\angle AMC = \frac{1}{2} \cup AC + \frac{1}{2} \cup BD$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AMC = \frac{1}{2} (\cup AC + \cup BD)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle AMC = \frac{1}{2}(\cup AC + \cup BD)$.

Условие 2015-2022.

297. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (рис. 97). Докажите, что $ \angle AMC = \frac{1}{2}(\text{U} AC + \text{U} BD) $.

Рис. 97

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).