Номер 304, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 304, страница 59.

Условие 2023.

304. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в окружности проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Точки $A, B, C, D$ лежат на окружности. Необходимо доказать, что градусные меры дуг, заключённых между этими хордами, равны. То есть, требуется доказать, что $\cup AC = \cup BD$.

Доказательство:

Соединим точки $A$ и $D$ хордой $AD$. Эта хорда является секущей для параллельных прямых, на которых лежат хорды $AB$ и $CD$.

Рассмотрим два вписанных угла: $\angle ADC$ и $\angle DAB$.

Угол $\angle ADC$ является вписанным и опирается на дугу $AC$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

$\angle ADC = \frac{1}{2} \cup AC$

Аналогично, вписанный угол $\angle DAB$ опирается на дугу $BD$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги:

$\angle DAB = \frac{1}{2} \cup BD$

По условию задачи хорды $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Прямая $AD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ADC$ и $\angle DAB$ равны:

$\angle ADC = \angle DAB$

Так как левые части выражений для углов равны, то равны и их правые части:

$\frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cup BD$

Умножив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение:

$\cup AC = \cup BD$

Таким образом, утверждение, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны, доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

304. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).