Номер 311, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 311, страница 59.

Условие 2023.

311. Даны отрезок AB и угол $\alpha$. Найдите геометрическое место точек X таких, что $\angle AXB = \alpha$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Геометрическое место точек (ГМТ) X, для которых угол $ \angle AXB $ имеет постоянную величину $ \alpha $, определяется свойством вписанных углов окружности: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду и лежащие в одной полуплоскости относительно этой хорды, равны. Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения угла $ \alpha $.

Случай 1: $ 0 < \alpha < 180^\circ $

Это наиболее общий случай. Множество всех точек X, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой AB и для которых $ \angle AXB = \alpha $, представляет собой дугу окружности с концами в точках A и B. Так как существуют две такие полуплоскости (сверху и снизу от прямой AB), искомое ГМТ состоит из двух дуг, симметричных относительно прямой AB. Точки A и B не принадлежат искомому множеству, поскольку для них угол $ \angle AXB $ не определен.

В частном случае, когда $ \alpha = 90^\circ $, отрезок AB является диаметром окружности. Тогда, по свойству угла, опирающегося на диаметр, ГМТ — это окружность, построенная на AB как на диаметре, за исключением самих точек A и B.

Для любого $ \alpha $ из этого диапазона радиус $ R $ окружностей, содержащих искомые дуги, можно найти из обобщенной теоремы синусов для треугольника AXB: $ \frac{AB}{\sin(\angle AXB)} = 2R $. Отсюда $ R = \frac{AB}{2 \sin \alpha} $.

Ответ: Две дуги окружностей, симметричные относительно прямой AB, из которых отрезок AB виден под углом $ \alpha $. Концы дуг (точки A и B) не включаются в это множество.

Случай 2: $ \alpha = 180^\circ $

Угол $ \angle AXB $ может быть равен $ 180^\circ $ (развернутый угол) только в том случае, если точка X лежит на одной прямой с точками A и B, причем находится строго между ними.

Ответ: Внутренние точки отрезка AB (интервал AB).

Случай 3: $ \alpha = 0^\circ $

Угол $ \angle AXB $ равен $ 0^\circ $, если точки A, X, и B коллинеарны (лежат на одной прямой), но точка X не лежит между A и B. Это означает, что X лежит на прямой AB, но вне замкнутого отрезка [AB].

Ответ: Прямая AB за вычетом отрезка [AB].

Условие 2015-2022.

311. Даны отрезок $AB$ и угол $\alpha$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $\angle AXB = \alpha$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).