Номер 309, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 309, страница 59.

Условие 2023.

309. Две окружности имеют единственную общую точку $M$. Через точку $M$ проведены две прямые, пересекающие данные окружности. Точки их пересечения с окружностями, отличные от точки $M$, соединены хордами. Докажите, что эти хорды параллельны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть даны две окружности, $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $, которые имеют единственную общую точку $ M $ (то есть, касаются в точке $ M $). Через точку $ M $ проведены две прямые. Первая прямая пересекает окружность $ \omega_1 $ в точке $ A $ и окружность $ \omega_2 $ в точке $ C $. Вторая прямая пересекает окружность $ \omega_1 $ в точке $ B $ и окружность $ \omega_2 $ в точке $ D $. Точки $ A, B, C, D $ отличны от $ M $. Требуется доказать, что хорда $ AB $ параллельна хорде $ CD $.

Для доказательства можно использовать два способа.

Способ 1: Использование общей касательной

Этот способ основан на теореме об угле между касательной и хордой.

1. Поскольку окружности имеют единственную общую точку $ M $, они имеют общую касательную в этой точке. Проведем эту касательную, назовем ее $ t $.

2. Рассмотрим окружность $ \omega_1 $. Угол между касательной $ t $ и хордой $ MA $ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $ MA $. Этим углом является $ \angle MBA $. Следовательно, $ \angle(t, MA) = \angle MBA $.

3. Аналогично рассмотрим окружность $ \omega_2 $. Угол между той же касательной $ t $ и хордой $ MC $ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $ MC $. Этим углом является $ \angle MDC $. Следовательно, $ \angle(t, MC) = \angle MDC $.

4. Точки $ A, M, C $ лежат на одной прямой по условию. Это означает, что хорды $ MA $ и $ MC $ лежат на одной и той же прямой. Поэтому углы, которые они образуют с касательной $ t $, равны (если окружности касаются внутренне) или являются вертикальными (если касаются внешне). В любом случае, величина этих углов одинакова: $ \angle(t, MA) = \angle(t, MC) $.

5. Из равенств, полученных в пунктах 2, 3 и 4, следует, что $ \angle MBA = \angle MDC $.

6. Теперь рассмотрим прямые $ AB $ и $ CD $ и секущую $ BD $. Углы $ \angle MBA $ (он же $ \angle DBA $) и $ \angle MDC $ (он же $ \angle BDC $) являются соответственными углами при этих прямых и секущей. Так как эти углы равны ($ \angle MBA = \angle MDC $), то по признаку параллельности прямых $ AB \parallel CD $.

Ответ: Хорды параллельны, что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование гомотетии

Этот способ использует свойство гомотетии (преобразования подобия с центром).

1. Рассмотрим гомотетию с центром в точке касания $ M $. Две касающиеся окружности всегда гомотетичны друг другу с центром в их точке касания. Это значит, что существует преобразование гомотетии с центром в $ M $, которое переводит окружность $ \omega_1 $ в окружность $ \omega_2 $.

2. При этой гомотетии любая точка $ X $ на $ \omega_1 $ переходит в точку $ X' $ на $ \omega_2 $ таким образом, что точки $ M, X, X' $ лежат на одной прямой.

3. По условию, прямая, проходящая через $ M $, пересекает $ \omega_1 $ в точке $ A $ и $ \omega_2 $ в точке $ C $. Значит, при нашей гомотетии точка $ A $ переходит в точку $ C $.

4. Аналогично, другая прямая, проходящая через $ M $, пересекает $ \omega_1 $ в точке $ B $ и $ \omega_2 $ в точке $ D $. Значит, точка $ B $ переходит в точку $ D $.

5. Таким образом, гомотетия с центром в $ M $ переводит отрезок (хорду) $ AB $ в отрезок (хорду) $ CD $.

6. Одним из фундаментальных свойств гомотетии является то, что она переводит любой отрезок в параллельный ему отрезок. Следовательно, из того, что хорда $ AB $ переходит в хорду $ CD $, следует, что $ AB \parallel CD $.

Ответ: Хорды параллельны, что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

309. Две окружности имеют единственную общую точку M. Через точку M проведены две прямые, пересекающие данные окружности. Точки их пересечения с окружностями, отличные от точки M, соединены хордами. Докажите, что эти хорды параллельны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).