Номер 312, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 312, страница 59.

Условие 2023.

312. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведённой к данной стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Задача состоит в построении треугольника по заданной стороне $a$, противолежащему ей углу $\alpha$ и высоте $h_a$, проведенной к этой стороне. Пусть искомый треугольник будет $\triangle ABC$, где $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$, а высота из вершины $A$ на прямую $BC$ равна $h_a$.

Анализ

Вершина $A$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна быть удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h_a$. Геометрическим местом точек (ГМТ), удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, параллельные прямой $BC$ и расположенные на расстоянии $h_a$ от нее. Мы можем выбрать одну из них для построения.
2. Из вершины $A$ отрезок $BC$ должен быть виден под углом $\alpha$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, является дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.

Таким образом, вершина $A$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест: прямой, параллельной $BC$, и дуги окружности, построенной на отрезке $BC$ как на хорде.

Построение

Пусть нам даны три отрезка: отрезок длиной $a$, отрезок длиной $h_a$ и угол $\alpha$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$, равный данному отрезку $a$.
2. Построим прямую $l$, параллельную прямой $BC$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее.
   1. В точке $B$ восставим перпендикуляр к прямой $BC$.
   2. На этом перпендикуляре от точки $B$ отложим отрезок $BD$, равный $h_a$.
   3. Через точку $D$ проведем прямую $l$, параллельную $BC$. Все точки на прямой $l$ находятся на расстоянии $h_a$ от прямой $BC$.
3. Построим на отрезке $BC$ как на хорде дугу окружности, точки которой являются вершинами углов величиной $\alpha$. Для этого найдем центр $O$ этой окружности:
   1. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $BC$. Центр $O$ искомой окружности лежит на этой прямой.
   2. В точке $B$ отложим от луча $BC$ угол $\angle CBK = 90^\circ - \alpha$ в ту полуплоскость, где проходит прямая $l$.
   3. Точка $O$, в которой пересекутся луч $BK$ и прямая $m$, будет центром искомой окружности. (Примечание: если $\alpha > 90^\circ$, то угол $90^\circ - \alpha$ будет отрицательным, и его следует откладывать в противоположную сторону от $BC$).
   4. Проведем дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OB$. Эта дуга пройдет через точки $B$ и $C$.
4. Точки пересечения прямой $l$ и построенной дуги окружности являются искомой вершиной $A$. Обозначим одну из них как $A$.
5. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ по построению. Высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, равна $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $l$, параллельной $BC$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$. Угол $\angle BAC$ равен $\alpha$, так как точка $A$ лежит на дуге, построенной так, что все вписанные углы, опирающиеся на хорду $BC$, равны $\alpha$. Следовательно, построенный треугольник $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда прямая $l$ и дуга окружности имеют хотя бы одну общую точку. Это означает, что заданная высота $h_a$ не должна превышать максимальной высоты для треугольника с основанием $a$ и противолежащим углом $\alpha$. Эта максимальная высота $H_{max}$ соответствует вершине равнобедренного треугольника, то есть точке пересечения дуги и серединного перпендикуляра $m$.

• Если $h_a < H_{max}$, то прямая $l$ пересекает дугу в двух точках ($A_1$ и $A_2$). Эти точки симметричны относительно серединного перпендикуляра $m$. Получаются два конгруэнтных треугольника, $\triangle A_1BC \cong \triangle A_2BC$. В этом случае задача имеет, по сути, одно решение.
• Если $h_a = H_{max}$, то прямая $l$ касается дуги в одной точке. Решение единственно, и искомый треугольник является равнобедренным.
• Если $h_a > H_{max}$, то прямая $l$ и дуга не пересекаются, и задача решений не имеет.

Ответ: Построение треугольника осуществляется путем нахождения его третьей вершины как точки пересечения двух геометрических мест точек: прямой, параллельной данной стороне и отстоящей от нее на данную высоту, и дуги окружности, построенной на данной стороне как на хорде, из точек которой эта сторона видна под данным углом. Задача имеет одно решение (с точностью до конгруэнтности), если данная высота не превышает максимальной высоты для треугольника с данными стороной и противолежащим углом; в противном случае решений нет.

Условие 2015-2022.

312. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведённой к данной стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).