Номер 305, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 305, страница 59.

Условие 2023.

305. Вершины квадрата $ABCD$ лежат на окружности. На дуге $AB$ отмечена произвольная точка $M$. Докажите, что $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Так как квадрат $ABCD$ вписан в окружность, его вершины делят окружность на четыре равные дуги. Стороны квадрата являются равными хордами ($AB = BC = CD = DA$), которые стягивают равные дуги.
Градусная мера каждой из этих дуг равна:
$\smile AB = \smile BC = \smile CD = \smile DA = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Углы $\angle AMD$, $\angle CMD$ и $\angle CMB$ — это вписанные углы. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Рассчитаем величину каждого из этих углов:

1. Угол $\angle AMD$ опирается на дугу $AD$. Его величина равна:
$\angle AMD = \frac{1}{2} \smile AD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
2. Угол $\angle CMD$ опирается на дугу $CD$. Его величина равна:
$\angle CMD = \frac{1}{2} \smile CD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
3. Угол $\angle CMB$ опирается на дугу $BC$. Его величина равна:
$\angle CMB = \frac{1}{2} \smile BC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, все три угла равны $45^\circ$, следовательно, $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$ доказано. Каждый из этих углов является вписанным и опирается на дугу, стягиваемую стороной квадрата. Величина такой дуги составляет $90^\circ$, поэтому каждый из углов равен $45^\circ$.

Условие 2015-2022.

305. Вершины квадрата $ABCD$ лежат на окружности. На дуге $AB$ отмечена произвольная точка $M$. Докажите, что $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).