Номер 298, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 298, страница 58.

Условие 2023.

298. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M (рис. 98). Докажите, что $\angle AMC = \frac{1}{2}(\cup AC - \cup BD)$.

Рис. 98

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства данного утверждения выполним дополнительное построение: соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим полученный треугольник $\triangle ADM$. Угол $\angle ADC$ является внешним углом этого треугольника при вершине D, так как он образован стороной AD и продолжением стороны MD (лучом DC).

По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$\angle ADC = \angle DAM + \angle AMD$

Выразим из этого равенства угол $\angle AMD$, который является искомым углом $\angle AMC$:
$\angle AMD = \angle ADC - \angle DAM$

Угол $\angle ADC$ является вписанным углом окружности. Он опирается на дугу AC, следовательно, его величина равна половине градусной меры этой дуги:
$\angle ADC = \frac{1}{2} \cup AC$

Аналогично, угол $\angle DAM$ (который является тем же углом, что и $\angle DAB$) — это вписанный угол, опирающийся на дугу BD. Его величина равна половине градусной меры этой дуги:
$\angle DAM = \frac{1}{2} \cup BD$

Теперь подставим полученные выражения для углов в формулу для $\angle AMD$:
$\angle AMD = \frac{1}{2} \cup AC - \frac{1}{2} \cup BD$

Вынеся общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, получим:
$\angle AMD = \frac{1}{2} (\cup AC - \cup BD)$

Поскольку $\angle AMD$ и $\angle AMC$ — это один и тот же угол, то утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

298. Хорды $AB$ и $CD$ окружности не пересекаются, а прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ (рис. 98). Докажите, что $\angle AMC = \frac{1}{2}(\cup AC - \cup BD)$.

Рис. 98

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).