Номер 303, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 303, страница 59.

Условие 2023.

303. Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ в точке $K$ так, что $\angle ACK = \angle BCK$.

Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, окружность построена на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре. Точка $K$ — точка пересечения этой окружности со стороной $AB$.

Рассмотрим угол $\angle AKC$. Так как точка $K$ лежит на окружности, а отрезок $AC$ является её диаметром, то вписанный угол $\angle AKC$, который опирается на диаметр, является прямым. Следовательно, его величина составляет $90^{\circ}$, то есть $\angle AKC = 90^{\circ}$.

Из того, что $\angle AKC = 90^{\circ}$, следует, что отрезок $CK$ перпендикулярен стороне $AB$. Таким образом, $CK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $C$.

Также по условию задачи нам дано, что $\angle ACK = \angle BCK$. Это по определению означает, что отрезок $CK$ является биссектрисой угла $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$.

Итак, в треугольнике $ABC$ отрезок $CK$ является одновременно и высотой, и биссектрисой, проведенными из одной и той же вершины $C$.

Согласно одному из признаков равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. При этом равными будут стороны, между которыми проходит эта биссектриса (и к которым не проведена эта высота), то есть $AC = BC$.

Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $ABC$ отрезок $CK$ является одновременно высотой (так как $\angle AKC=90^{\circ}$) и биссектрисой (по условию). Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AC=BC$.

Условие 2015-2022.

303. Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторону AB в точке K так, что $\angle ACK = \angle BCK$.

Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).