Номер 301, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 301, страница 59.

Условие 2023.

301. На дуге AC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, отмечена точка M так, что $ \overset{\frown}{AM} = 2 \overset{\frown}{CM} $. Найдите углы треугольника AMC.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку треугольник $ABC$ — равносторонний, то все его углы равны $60^\circ$. Окружность, описанная около треугольника, делится его вершинами на три равные дуги, так как равные хорды ($AB = BC = CA$) стягивают равные дуги. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$, следовательно, градусная мера каждой из этих дуг равна:

$\cup AB = \cup BC = \cup CA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Точка $M$ отмечена на дуге $AC$, не содержащей точку $B$. По условию задачи, градусная мера дуги $AM$ в два раза больше градусной меры дуги $CM$. Обозначим градусную меру дуги $CM$ за $x$. Тогда градусная мера дуги $AM$ будет равна $2x$.

Поскольку точка $M$ лежит на дуге $AC$, то сумма дуг $AM$ и $CM$ равна дуге $AC$:

$\cup AM + \cup CM = \cup AC$

Подставим наши обозначения и известное значение дуги $AC$:

$2x + x = 120^\circ$

$3x = 120^\circ$

$x = 40^\circ$

Таким образом, мы нашли градусные меры дуг: $\cup CM = 40^\circ$ и $\cup AM = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Теперь найдем углы треугольника $AMC$. Эти углы являются вписанными в окружность, и величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

1. Угол $\angle MAC$ опирается на дугу $CM$. Следовательно, его величина равна:

$\angle MAC = \frac{1}{2} \cup CM = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$.

2. Угол $\angle MCA$ опирается на дугу $AM$. Следовательно, его величина равна:

$\angle MCA = \frac{1}{2} \cup AM = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$.

3. Угол $\angle AMC$ опирается на дугу $ABC$. Градусная мера этой дуги равна сумме дуг $AB$ и $BC$:

$\cup ABC = \cup AB + \cup BC = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$.

Следовательно, величина угла $\angle AMC$ равна:

$\angle AMC = \frac{1}{2} \cup ABC = \frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Также угол $\angle AMC$ можно было найти, используя свойство вписанного четырехугольника $ABCM$. Сумма его противоположных углов равна $180^\circ$:

$\angle AMC + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle AMC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проверим сумму углов в треугольнике $AMC$: $20^\circ + 40^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Ответ: углы треугольника $AMC$ равны $20^\circ$, $40^\circ$ и $120^\circ$.

Условие 2015-2022.

301. На дуге $AC$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, отмечена точка $M$ так, что $\cup AM = 2 \cup CM$. Найдите углы треугольника $AMC$.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).